8.1.19 Prove que
Essa equação tem sido útil em cálculos da teoria da degradação beta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
e
, vale
O que vamos precisar é da forma de Weierstrass para a função
, isto é, o produto infinito
onde
é a constante de Euler–Mascheroni.
Passo 2
Substituímos
na representação de Weierstrass e tomamos o módulo em ambos os lados. De um lado,
Agora use:
-
. -
. -
. -
Passo 3
Com isso,
Reescrevendo um pouco,
Passo 4
Quando
, a mesma product formula dá
Logo
Quase tudo cancela, sobrando
Passo 5
Observe que
é exatamente o termo no produto desejado. Portanto podemos escrever
é exatamente o termo
que é o que se queria demonstrar.