8.1.19 Prove que
Essa equação tem sido útil em cálculos da teoria da degradação beta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
e
, vale
O que vamos precisar é da forma de Weierstrass para a função
Gamma , isto é, o produto infinito
onde
gamma é a constante de Euler–Mascheroni.
Passo 2
Substituímos
z=alpha+ibeta na representação de Weierstrass e tomamos o módulo em ambos os lados. De um lado,
Agora use:
-
.l|e^gamma(alpha+ibeta)r|=e^gammaalpha -
.l|e^-(alpha+ibeta)/nr|=e^-alpha/n -
.l|alpha+ibetar|=raizalpha^2+beta^2 -
l|1+tfracalpha+ibetanr| =raizl(1+tfracalpha nr)^2+tfracbeta^2n^2 =raiz(alpha+n)^2+beta^2,n,
Passo 3
Com isso,
Reescrevendo um pouco,
Passo 4
Quando
beta=0 , a mesma product formula dá
Logo
Quase tudo cancela, sobrando
Passo 5
Observe que
alpharaizalpha^2+beta^2 =l[1+beta^2alpha^2r]^-1/2
é exatamente o termon=0 no produto desejado. Portanto podemos escrever
é exatamente o termo
que é o que se queria demonstrar.