8.1.19 Prove que
|Gamma(alpha+i beta)|=|Gamma(alpha)| prodn=0^infty[1+beta^2(alpha+n)^2]^-1 / 2
Essa equação tem sido útil em cálculos da teoria da degradação beta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para alpha>0 e betainR, vale
l|Gamma(alpha+ibeta)r| =l|Gamma(alpha)r| prodn=0^inftyl[1+beta^2(alpha+n)^2r]^-1/2
O que vamos precisar é da forma de Weierstrass para a função Gamma, isto é, o produto infinito
1Gamma(z) = z,e^gamma z prodn=1^inftyl(1+znr)e^-z/n,
onde gamma é a constante de Euler–Mascheroni.

Passo 2

Substituímos z=alpha+ibeta na representação de Weierstrass e tomamos o módulo em ambos os lados. De um lado,
l|tfrac1Gamma(alpha+ibeta)r| =|alpha+ibeta|, l|e^gamma(alpha+ibeta)r|, prodn=1^infty l|1+tfracalpha+ibetanr|, l|e^-(alpha+ibeta)/nr|
Agora use:
  1. l|e^gamma(alpha+ibeta)r|=e^gammaalpha.
  2. l|e^-(alpha+ibeta)/nr|=e^-alpha/n.
  3. l|alpha+ibetar|=raizalpha^2+beta^2.
  4. l|1+tfracalpha+ibetanr| =raizl(1+tfracalpha nr)^2+tfracbeta^2n^2 =raiz(alpha+n)^2+beta^2,n,

Passo 3

Com isso,
l|tfrac1Gamma(alpha+ibeta)r| =raizalpha^2+beta^2;e^gammaalpha prodn=1^infty raiz(alpha+n)^2+beta^2n;e^-alpha/n
Reescrevendo um pouco,
l|tfrac1Gamma(alpha+ibeta)r| =raizalpha^2+beta^2;e^gammaalpha prodn=1^infty l(1+tfracalpha nr)e^-alpha/n ;prodn=1^infty l[1+tfracbeta^2(alpha+n)^2r]^1/2

Passo 4

Quando beta=0, a mesma product formula dá
1Gamma(alpha) =alpha,e^gammaalpha prodn=1^inftyl(1+tfracalpha nr)e^-alpha/n
Logo
l|Gamma(alpha)r|l|Gamma(alpha+ibeta)r| =alpha,e^gammaalphaprodn=1(1+alpha n)e^-alpha/n raizalpha^2+beta^2,e^gammaalphaprodn=1(1+alpha n)e^-alpha/n ;l[prodn=1l[1+tfracbeta^2(alpha+n)^2r]^1/2r]^-1
Quase tudo cancela, sobrando
l|Gamma(alpha)r|l|Gamma(alpha+ibeta)r| =alpharaizalpha^2+beta^2 ;prodn=1^infty l[1+tfracbeta^2(alpha+n)^2r]^-1/2

Passo 5

Observe que
alpharaizalpha^2+beta^2 =l[1+beta^2alpha^2r]^-1/2
é exatamente o termo n=0 no produto desejado. Portanto podemos escrever
l|Gamma(alpha+ibeta)r| =l|Gamma(alpha)r| prodn=0^infty l[1+beta^2(alpha+n)^2r]^-1/2,
que é o que se queria demonstrar.

Resposta

l|Gamma(alpha+ibeta)r| =l|Gamma(alpha)r| prodn=0^inftyl[1+tfracbeta^2(alpha+n)^2r]^-1/2

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