Qual é a derivada de \log _{a} x ? Há alguma restrição para a ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \log_{a}x. O conteúdo aqui é derivação de funções logarítmicas e vamos usar a mudança de base para convertê-la em logaritmo natural, cujo processo de diferenciação já conhecemos.

Passo 2

Aplicamos a mudança de base:
\log_{a}x \;=\;\frac{\ln x}{\ln a}.
Note que \ln a é constante em relação a x.

Passo 3

Derivamos \frac{\ln x}{\ln a} em relação a x. Como \ln a é constante, temos
\frac{d}{dx}\,\log_{a}x =\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{\ln x}{\ln a}\Bigr) =\frac{1}{\ln a}\,\frac{d}{dx}(\ln x) =\frac{1}{\ln a}\,\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln a}.

Passo 4

Para que \log_{a}x faça sentido, o argumento deve satisfazer x>0 e a base precisa ser positiva e distinta de 1. Ou seja,
a>0,\quad a\neq1.

Resposta

\frac{d}{dx}\,\log_{a}x = \frac{1}{x\,\ln a},
com a>0 e a\neq1.

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