Derive a Equação (11.174):
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a ortogonalidade das funções de Bessel esféricas de primeira espécie
e
no intervalo
, ou seja, provar que
O que vamos usar é a função geradora das
e a ortogonalidade dos polinômios de Legendre
.
Passo 2
A função geradora das esféricas é
Isolando
por projeção em
e usando
encontra-se
encontra-se
Passo 3
Escrevemos então o produto
como
Ao integrar em
de
a
, usamos
Logo
Passo 4
A
obriga
, reduzindo a integral dupla a
Substituindo,
Passo 5
Quando
,
e portanto