Derive a Equação (11.174):
\int_{-\infty}^{\infty} j_{m}(x) j_{n}(x) d x=0, \quad m \neq n ~=

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a ortogonalidade das funções de Bessel esféricas de primeira espécie
\;j_{m}(x) e \;j_{n}(x) no intervalo (-\infty,\infty), ou seja, provar que
\int_{-\infty}^{\infty} j_{m}(x)\,j_{n}(x)\,dx = 0 \quad\text{quando }m\neq n.
O que vamos usar é a função geradora das j_{\ell}(x) e a ortogonalidade dos polinômios de Legendre P_{\ell}(\mu).

Passo 2

A função geradora das esféricas é
\sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell+1)\,i^{\ell}\,j_{\ell}(x)\,P_{\ell}(\mu) = e^{\,i x \mu}.
Isolando j_{m}(x) por projeção em P_{m}(\mu) e usando
\displaystyle \int_{-1}^{1}P_{m}(\mu)\,P_{\ell}(\mu)\,d\mu =\frac{2}{2m+1}\,\delta_{m\ell},
encontra-se
j_{m}(x) =\frac{(-i)^{m}}{2}\!\int_{-1}^{1}e^{\,i x\mu}\,P_{m}(\mu)\,d\mu.

Passo 3

Escrevemos então o produto j_{m}(x)\,j_{n}(x) como
j_{m}(x)\,j_{n}(x) =\frac{(-i)^{m+n}}{4} \int_{-1}^{1}\!\!\int_{-1}^{1} e^{\,i x(\mu+\nu)}\,P_{m}(\mu)\,P_{n}(\nu)\,d\mu\,d\nu.
Ao integrar em x de -\infty a \infty, usamos
\int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i x(\mu+\nu)}\,dx =2\pi\,\delta(\mu+\nu).
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}j_{m}(x)\,j_{n}(x)\,dx =\frac{(-i)^{m+n}}{4}\,2\pi \int_{-1}^{1}\!\!\int_{-1}^{1} P_{m}(\mu)\,P_{n}(\nu)\,\delta(\mu+\nu)\,d\mu\,d\nu.

Passo 4

A \delta(\mu+\nu) obriga \nu=-\mu, reduzindo a integral dupla a
\int_{-1}^{1}P_{m}(\mu)\,P_{n}(-\mu)\,d\mu =\int_{-1}^{1}P_{m}(\mu)\,(-1)^{n}P_{n}(\mu)\,d\mu =(-1)^{n}\,\frac{2}{2n+1}\,\delta_{mn}.
Substituindo,
\int_{-\infty}^{\infty}j_{m}j_{n}\,dx =\frac{(-i)^{m+n}}{4}\,2\pi\, (-1)^{n}\,\frac{2}{2n+1}\,\delta_{mn} =\frac{\pi}{2n+1}\,(-i)^{m+n}(-1)^{n}\,\delta_{mn}.

Passo 5

Quando m\neq n, \delta_{mn}=0 e portanto
\int_{-\infty}^{\infty}j_{m}(x)\,j_{n}(x)\,dx=0.

Resposta

\int_{-\infty}^{\infty} j_{m}(x)\,j_{n}(x)\,dx = 0, \quad m\neq n.

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