Verifique a representação integral de Poisson da função esférica de Bessel,
jn(z)=z^n2^n+1 n! integral0^pi cos (z cos theta) sen^2 n+1 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função esférica de Bessel
jn(z)
pode ser escrita na forma de Poisson
jn(z) = z^n2^n+1,n! integral0^picosl(zcosthetar),sin^2n+1theta,dtheta
O conteúdo principal que vamos usar é a relação entre jn e a função de Bessel ordinária Jnu, e a conhecida representação integral de Poisson para Jnu(z).

Passo 2

Lembramos que a função esférica de Bessel está relacionada com Jnu pela fórmula
jn(z) = raizpi2z;Jn+tfrac12(z)

Passo 3

Também conhecemos a representação integral de Poisson para Jnu(z) (válida para Renu>-1/2):
Jnu(z) = l(tfracz2r)^nuraizpi,Gammal(nu+tfrac12r) integral0^picosl(zcosthetar),sin^2nutheta,dtheta

Passo 4

Tomando nu=n+tfrac12, temos Gammal(nu+tfrac12r)=Gamma(n+1)=n!, e a integral vira
Jn+tfrac12(z) = l(tfracz2r)^,n+tfrac12raizpi,n! integral0^picosl(zcosthetar),sin^2n+1theta,dtheta

Passo 5

Substituindo este Jn+tfrac12(z) em
jn(z)=raizpi2z,Jn+tfrac12(z)
obtém-se
jn(z) = raizpi2z ;cdot l(tfracz2r)^,n+tfrac12raizpi,n! integral0^picosl(zcosthetar),sin^2n+1theta,dtheta
Agora basta simplificar o fator fora da integral:
raizpi2z;(z/2)^,n+tfrac12raizpi,n! = z^,n+tfrac122^,n+tfrac12,n! ;1raiz2z = z^n2^n+1,n!

Resposta

boxed jn(z) = z^n2^n+1,n! integral0^picosl(zcosthetar),sin^2n+1theta,dtheta

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