Verifique a representação integral de Poisson da função esférica de Bessel,
j_{n}(z)=\frac{z^{n}}{2^{n+1} n!} \int_{0}^{\pi} \cos (z \cos \theta) \operatorname{sen}^{2 n+1} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função esférica de Bessel
j_{n}(z)
pode ser escrita na forma de Poisson
j_{n}(z) = \frac{z^{n}}{2^{n+1}\,n!} \int_{0}^{\pi}\cos\bigl(z\cos\theta\bigr)\,\sin^{2n+1}\theta\,d\theta.
O conteúdo principal que vamos usar é a relação entre j_{n} e a função de Bessel ordinária J_{\nu}, e a conhecida representação integral de Poisson para J_{\nu}(z).

Passo 2

Lembramos que a função esférica de Bessel está relacionada com J_{\nu} pela fórmula
j_{n}(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}}\;J_{n+\tfrac12}(z).

Passo 3

Também conhecemos a representação integral de Poisson para J_{\nu}(z) (válida para \Re\nu>-1/2):
J_{\nu}(z) = \frac{\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)^{\nu}}{\sqrt{\pi}\,\Gamma\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)} \int_{0}^{\pi}\cos\bigl(z\cos\theta\bigr)\,\sin^{2\nu}\theta\,d\theta.

Passo 4

Tomando \nu=n+\tfrac12, temos \Gamma\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)=\Gamma(n+1)=n!, e a integral vira
J_{n+\tfrac12}(z) = \frac{\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)^{\,n+\tfrac12}}{\sqrt{\pi}\,n!} \int_{0}^{\pi}\cos\bigl(z\cos\theta\bigr)\,\sin^{2n+1}\theta\,d\theta.

Passo 5

Substituindo este J_{n+\tfrac12}(z) em
\displaystyle j_{n}(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2z}}\,J_{n+\tfrac12}(z)
obtém-se
j_{n}(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} \;\cdot \frac{\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)^{\,n+\tfrac12}}{\sqrt{\pi}\,n!} \int_{0}^{\pi}\cos\bigl(z\cos\theta\bigr)\,\sin^{2n+1}\theta\,d\theta.
Agora basta simplificar o fator fora da integral:
\sqrt{\frac{\pi}{2z}}\;\frac{(z/2)^{\,n+\tfrac12}}{\sqrt{\pi}\,n!} = \frac{z^{\,n+\tfrac12}}{2^{\,n+\tfrac12}\,n!} \;\frac{1}{\sqrt{2z}} = \frac{z^{n}}{2^{n+1}\,n!}.

Resposta

\boxed{ j_{n}(z) = \frac{z^{n}}{2^{n+1}\,n!} \int_{0}^{\pi}\cos\bigl(z\cos\theta\bigr)\,\sin^{2n+1}\theta\,d\theta }

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