A energia da partícula, para e para . (Exigimos que seja finita e .) Aqui, e é o momento angular ( na Equação (11.139)).
(b) A condição de contorno em que a função de onda e sua derivada de primeira ordem sejam contínuas. Mostre que isso significa
Essa equação determina os autovalores da energia.
Nota: Essa é uma generalização do Exemplo 10.1.2.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
e energia ligada (regular em ) e (decai em ).
Passo 2
Escrevendo a parte radial em termos de ul(r)=r,psil(r), a equação efetiva fica, em cada região,
d^2uldr^2 +l[k^2-l(l+1)r^2r]ul=0,
com
¶ 0<= r<a: k^2=k1^2=2M(E+V0)hbar^2, ¶ r>a: k^2=-k2^2ou seja k2^2=-2MEhbar^2>0
Passo 3
Na região interna (0<= r<a) temos
d^2uldr^2 +l[k1^2-l(l+1)r^2r]ul=0
As soluções gerais são combinações de jl(k1r) e nl(k1r), mas nl diverge em r=0. Logo, impondo psi(0) finita, obtemos
ul(r)=A,jl(k1r) Longrightarrow psil(r)=Ar,jl(k1r)
Passo 4
Na região externa (r>a) a equação fica
d^2uldr^2 -l[k2^2+l(l+1)r^2r]ul=0,
cuja solução decrescente em rtoinfty é a função modificada esférica de segunda espécie kl(k2r). Assim,