11.7.21 Uma partícula quântica de massa M\) está presa em um poço "quadrado" de raio \(a\). A equação de potencial de Schrödinger é \[V(r)= \begin{cases}-V_{0}, & 0 \leq r<a \\\\ 0, & r>a .\end{cases}
A energia da partícula, E\], é negativa (um autovalor). (a) Mostre que a parte radial da função de onda é dada por \(j_{l}\left(k_{1} r\right) para 0 \leq r<a e k_{l}\left(k_{2} r\right) para r>a. (Exigimos que \psi(0) seja finita e \psi(\infty) \rightarrow 0.) Aqui, k_{1}^{2}=2 M\left(E+V_{0}\right) / \hbar^{2}, k_{2}^{2}= -2 M E / \hbar^{2} e l é o momento angular ( n na Equação (11.139)).
(b) A condição de contorno em r=a que a função de onda \psi(r) e sua derivada de primeira ordem sejam contínuas. Mostre que isso significa
\left.\frac{(d / d r) j_{l}\left(k_{1} r\right)}{j_{l}\left(k_{1} r\right)}\right|_{r=a}=\left.\frac{(d / d r) k_{l}\left(k_{2} r\right)}{k_{l}\left(k_{2} r\right)}\right|_{r=a} .
Essa equação determina os autovalores da energia.
Nota: Essa é uma generalização do Exemplo 10.1.2.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa M\) em um poço esférico de raio \(a\) com potencial \[V(r)= \begin{cases} -V_{0},&0\le r<a,\\\\ 0,&r>a, \end{cases}
e energia ligada E<0\]. Para resolver precisamos separar a parte radial da equação de Schr\"odinger em coordenadas esféricas e reconhecer que as soluções são funções esféricas de Bessel: \(j_{l} (regular em r=0) e k_{l} (decai em r\to\infty).

Passo 2

Escrevendo a parte radial em termos de u_{l}(r)=r\,\psi_{l}(r), a equação efetiva fica, em cada região,
\frac{d^{2}u_{l}}{dr^{2}} +\Bigl[k^{2}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\Bigr]u_{l}=0,
com
\begin{aligned} &\text{para }0\le r<a:\quad k^{2}=k_{1}^{2}=\frac{2M(E+V_{0})}{\hbar^{2}},\\\ &\text{para }r>a:\quad k^{2}=-k_{2}^{2}\quad\text{ou seja}\quad k_{2}^{2}=\frac{-2ME}{\hbar^{2}}>0. \end{aligned}

Passo 3

Na região interna ( 0\le r<a) temos
\frac{d^{2}u_{l}}{dr^{2}} +\Bigl[k_{1}^{2}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\Bigr]u_{l}=0.
As soluções gerais são combinações de j_{l}(k_{1}r) e n_{l}(k_{1}r), mas n_{l} diverge em r=0. Logo, impondo \psi(0) finita, obtemos
u_{l}(r)=A\,j_{l}(k_{1}r) \qquad\Longrightarrow\qquad \psi_{l}(r)=\frac{A}{r}\,j_{l}(k_{1}r).

Passo 4

Na região externa ( r>a) a equação fica
\frac{d^{2}u_{l}}{dr^{2}} -\Bigl[k_{2}^{2}+\frac{l(l+1)}{r^{2}}\Bigr]u_{l}=0,
cuja solução decrescente em r\to\infty é a função modificada esférica de segunda espécie k_{l}(k_{2}r). Assim,
u_{l}(r)=C\,k_{l}(k_{2}r) \qquad\Longrightarrow\qquad \psi_{l}(r)=\frac{C}{r}\,k_{l}(k_{2}r),
garantindo \psi(\infty)\to0.

Passo 5

Em r=a\) exigimos continuidade de \(\psi_{l}\) e de sua derivada primeira \(\psi_{l}'\). Como \(\psi_{l}=u_{l}/r\), isso equivale a \[\begin{cases} A\,j_{l}(k_{1}a)=C\,k_{l}(k_{2}a),\\\ A\,\bigl.\frac{d}{dr}j_{l}(k_{1}r)\bigr|_{r=a} =C\,\bigl.\frac{d}{dr}k_{l}(k_{2}r)\bigr|_{r=a}. \end{cases}
Dividindo a segunda igualdade pela primeira, cancelam-se A\] e \(C e obtemos
\left.\frac{\bigl(d/dr\bigr)\,j_{l}(k_{1}r)}{j_{l}(k_{1}r)}\right|_{r=a} = \left.\frac{\bigl(d/dr\bigr)\,k_{l}(k_{2}r)}{k_{l}(k_{2}r)}\right|_{r=a}.

Resposta

\left.\frac{(d/dr)\,j_{l}\bigl(k_{1}r\bigr)}{j_{l}\bigl(k_{1}r\bigr)}\right|_{r=a} = \left.\frac{(d/dr)\,k_{l}\bigl(k_{2}r\bigr)}{k_{l}\bigl(k_{2}r\bigr)}\right|_{r=a},
que é a condição que determina os autovalores de energia.

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