11.7.21 Uma partícula quântica de massa M\) está presa em um poço "quadrado" de raio \(a\). A equação de potencial de Schrödinger é
\[V(r)= \begin{cases}-V_{0}, & 0 \leq r<a \\\\ 0, & r>a .\end{cases}
A energia da partícula, E\], é negativa (um autovalor).
(a) Mostre que a parte radial da função de onda é dada por \(j_{l}\left(k_{1} r\right) para 0 \leq r<a e k_{l}\left(k_{2} r\right) para r>a. (Exigimos que \psi(0) seja finita e \psi(\infty) \rightarrow 0.) Aqui, k_{1}^{2}=2 M\left(E+V_{0}\right) / \hbar^{2}, k_{2}^{2}=-2 M E / \hbar^{2} e l é o momento angular ( n na Equação (11.139)).
(b) A condição de contorno em r=a que a função de onda \psi(r) e sua derivada de primeira ordem sejam contínuas. Mostre que isso significa
\left.\frac{(d / d r) j_{l}\left(k_{1} r\right)}{j_{l}\left(k_{1} r\right)}\right|_{r=a}=\left.\frac{(d / d r) k_{l}\left(k_{2} r\right)}{k_{l}\left(k_{2} r\right)}\right|_{r=a} .
Essa equação determina os autovalores da energia.
Nota: Essa é uma generalização do Exemplo 10.1.2.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa M\) em um poço esférico de raio \(a\) com potencial
\[V(r)= \begin{cases} -V_{0},&0\le r<a,\\\\ 0,&r>a, \end{cases}
e energia ligada E<0\]. Para resolver precisamos separar a parte radial da equação de Schr\"odinger em coordenadas esféricas e reconhecer que as soluções são funções esféricas de Bessel: \(j_{l} (regular em r=0) e k_{l} (decai em r\to\infty).
Passo 2
Escrevendo a parte radial em termos de u_{l}(r)=r\,\psi_{l}(r), a equação efetiva fica, em cada região,
Em r=a\) exigimos continuidade de \(\psi_{l}\) e de sua derivada primeira \(\psi_{l}'\). Como \(\psi_{l}=u_{l}/r\), isso equivale a
\[\begin{cases} A\,j_{l}(k_{1}a)=C\,k_{l}(k_{2}a),\\\ A\,\bigl.\frac{d}{dr}j_{l}(k_{1}r)\bigr|_{r=a} =C\,\bigl.\frac{d}{dr}k_{l}(k_{2}r)\bigr|_{r=a}. \end{cases}
Dividindo a segunda igualdade pela primeira, cancelam-se A\] e \(C e obtemos