11.7.21 Uma partícula quântica de massa
A energia da partícula, para e para . (Exigimos que seja finita e .) Aqui, e é o momento angular ( na Equação (11.139)).
(b) A condição de contorno em que a função de onda e sua derivada de primeira ordem sejam contínuas. Mostre que isso significa
Essa equação determina os autovalores da energia.
Nota: Essa é uma generalização do Exemplo 10.1.2.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa
e energia ligada (regular em ) e (decai em ).

Passo 2

Escrevendo a parte radial em termos de ul(r)=r,psil(r), a equação efetiva fica, em cada região,
d^2uldr^2 +l[k^2-l(l+1)r^2r]ul=0,
com
¶ 0<= r<a: k^2=k1^2=2M(E+V0)hbar^2, ¶ r>a: k^2=-k2^2ou seja k2^2=-2MEhbar^2>0

Passo 3

Na região interna ( 0<= r<a) temos
d^2uldr^2 +l[k1^2-l(l+1)r^2r]ul=0
As soluções gerais são combinações de jl(k1r) e nl(k1r), mas nl diverge em r=0. Logo, impondo psi(0) finita, obtemos
ul(r)=A,jl(k1r) Longrightarrow psil(r)=Ar,jl(k1r)

Passo 4

Na região externa ( r>a) a equação fica
d^2uldr^2 -l[k2^2+l(l+1)r^2r]ul=0,
cuja solução decrescente em rtoinfty é a função modificada esférica de segunda espécie kl(k2r). Assim,
ul(r)=C,kl(k2r) Longrightarrow psil(r)=Cr,kl(k2r),
garantindo psi(infty)to0.

Passo 5

Em
Dividindo a segunda igualdade pela primeira, cancelam-se e obtemos

Resposta

(d/dr),jll(k1rr)jll(k1rr)|r=a = (d/dr),kll(k2rr)kll(k2rr)|r=a,
que é a condição que determina os autovalores de energia.

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