Derive os valores limitadores para as funções esféricas modificadas de Bessel
in(x) approx x^n(2 n+1)!!, kn(x) approx (2 n-1)!!x^n+1, x ll 1.

Passo 1

O enunciado pede a forma assintótica para xll1 das funções esféricas modificadas de Bessel
in(x)=raizpi2x,In+1/2(x), kn(x)=raizpi2x,Kn+1/2(x),
onde usaremos as expansões para Inu(x) e Knu(x) em xto0 e as relações
Gammal(n+tfrac32r)=(2n+1)!!2^,n+1raizpi, Gammal(n+tfrac12r)=(2n-1)!!2^,nraizpi

Passo 2

Para Inu(x) temos a expansão em xto0:
Inu(x)approx1Gamma(nu+1)l(x2r)^!nu
Tomando nu=n+tfrac12,
In+1/2(x)approx1Gamma(n+tfrac32)l(x2r)^n+1/2
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in(x) =raizpi2x;In+1/2(x) approxraizpi2x;x^,n+1/22^,n+1/2,Gamma(n+tfrac32) =raizpi2^,n+1,Gamma(n+tfrac32),x^n
Usando Gamma(n+tfrac32)=(2n+1)!!2^,n+1raizpi cancela-se raizpi e 2^,n+1, ficando
in(x)approxx^n(2n+1)!!

Passo 3

Para Knu(x) em xto0 vale
Knu(x)approx12,Gamma(nu),l(x2r)^!-nu
Com nu=n+tfrac12 obtemos
Kn+1/2(x)approx12,Gamma(n+tfrac12),l(x2r)^-n-1/2
Então
kn(x) =raizpi2x;Kn+1/2(x) approxraizpi2x;12,Gamma(n+tfrac12),2^,n+1/2x^,n+1/2 =Gamma(n+tfrac12),raizpi2;x^-n-1
Usando Gamma(n+tfrac12)=(2n-1)!!2^,nraizpi
kn(x)approx(2n-1)!!x^,n+1

Resposta

in(x)approxx^n(2n+1)!!, kn(x)approx(2n-1)!!x^n+1, xll1

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