11.7.18 Mostre que as relações de recorrência para in(x) e kn(x) são
in-1(x)-in+1(x)=2 n+1x in(x), n in-1(x)+(n+1) in+1(x)=(2 n+1) in^prime(x),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as recorrências
in-1(x)-in+1(x)=2n+1x,in(x), n,in-1(x)+(n+1),in+1(x)=(2n+1),in'(x),
onde in(x) é a função de Bessel esférica modificada de primeira espécie.
Para isso vamos usar a definição
in(x)=raizpi2x;In+tfrac12(x)
e as fórmulas de recorrência para as funções de Bessel modificadas Inu(x):
Inu-1(x)-Inu+1(x)=2nux,Inu(x), Inu-1(x)+Inu+1(x)=2,Inu'(x)

Passo 2

Escolhendo nu=n+tfrac12 na relação
Inu-1-Inu+1=2nuxInu
temos
In-tfrac12(x)-In+tfrac32(x) =2(n+tfrac12)x;In+tfrac12(x) =2n+1x;In+tfrac12(x)
Multiplicando ambos os lados por raizpi/(2x) surge
in-1(x)-in+1(x) =raizpi2xl[In-tfrac12-In+tfrac32r] =2n+1x,raizpi2x,In+tfrac12(x) =2n+1x,in(x),
que é a primeira relação.

Passo 3

Agora use a segunda relação de Inu:
In-tfrac12(x)+In+tfrac32(x) =2,In+tfrac12'(x)
Multiplicando por raizpi/(2x)
in-1(x)+in+1(x) =2,raizpi2x;In+tfrac12'(x)
Para ligar isso a in'(x) observe
in(x)=C(x),In+tfrac12(x), C(x)=raizpi2x,
in'(x) =C'(x),In+tfrac12(x) +C(x),In+tfrac12'(x),
e nota-se que
C'(x)C(x)=-12x ;Longrightarrow; In+tfrac12'(x) =in'(x)C(x)+12x,in(x)C(x)
Logo
in-1+in+1 =2,C(x)l[in'C(x)+in2x,C(x)r] =2,in'(x)+1x,in(x)

Passo 4

Temos então o sistema
in-1-in+1=2n+1x,in,[6pt] in-1+in+1=2,in'+1x,in
Multiplicando a primeira por n e a segunda por n+1 e somando:
n(in-1-in+1)+(n+1)(in-1+in+1) =(2n+1),in'(x)
No lado esquerdo sai exatamente n,in-1+(n+1),in+1, portanto
n,in-1(x)+(n+1),in+1(x) =(2n+1),in'(x) ]

Resposta

in-1(x)-in+1(x)=2n+1x,in(x), n,in-1(x)+(n+1),in+1(x)=(2n+1),in'(x)

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