11.7.18 Mostre que as relações de recorrência para i_{n}(x) e k_{n}(x) são
i_{n-1}(x)-i_{n+1}(x)=\frac{2 n+1}{x} i_{n}(x), n i_{n-1}(x)+(n+1) i_{n+1}(x)=(2 n+1) i_{n}^{\prime}(x),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as recorrências
i_{n-1}(x)-i_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{x}\,i_{n}(x), \qquad n\,i_{n-1}(x)+(n+1)\,i_{n+1}(x)=(2n+1)\,i_{n}'(x),
onde i_n(x) é a função de Bessel esférica modificada de primeira espécie.
Para isso vamos usar a definição
i_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;I_{n+\tfrac12}(x)
e as fórmulas de recorrência para as funções de Bessel modificadas I_\nu(x):
I_{\nu-1}(x)-I_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}\,I_{\nu}(x), \qquad I_{\nu-1}(x)+I_{\nu+1}(x)=2\,I_{\nu}'(x).

Passo 2

Escolhendo \nu=n+\tfrac12 na relação
I_{\nu-1}-I_{\nu+1}=\frac{2\nu}{x}I_{\nu}
temos
I_{n-\tfrac12}(x)-I_{n+\tfrac32}(x) =\frac{2(n+\tfrac12)}{x}\;I_{n+\tfrac12}(x) =\frac{2n+1}{x}\;I_{n+\tfrac12}(x).
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{\pi/(2x)} surge
i_{n-1}(x)-i_{n+1}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\bigl[I_{n-\tfrac12}-I_{n+\tfrac32}\bigr] =\frac{2n+1}{x}\,\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,I_{n+\tfrac12}(x) =\frac{2n+1}{x}\,i_{n}(x),
que é a primeira relação.

Passo 3

Agora use a segunda relação de I_\nu:
I_{n-\tfrac12}(x)+I_{n+\tfrac32}(x) =2\,I_{n+\tfrac12}'(x).
Multiplicando por \sqrt{\pi/(2x)}
i_{n-1}(x)+i_{n+1}(x) =2\,\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;I_{n+\tfrac12}'(x).
Para ligar isso a i_{n}'(x) observe
i_{n}(x)=C(x)\,I_{n+\tfrac12}(x), \quad C(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}},
i_{n}'(x) =C'(x)\,I_{n+\tfrac12}(x) +C(x)\,I_{n+\tfrac12}'(x),
e nota-se que
\frac{C'(x)}{C(x)}=-\frac1{2x} \;\Longrightarrow\; I_{n+\tfrac12}'(x) =\frac{i_{n}'(x)}{C(x)}+\frac{1}{2x}\,\frac{i_{n}(x)}{C(x)}.
Logo
i_{n-1}+i_{n+1} =2\,C(x)\Bigl[\frac{i_{n}'}{C(x)}+\frac{i_{n}}{2x\,C(x)}\Bigr] =2\,i_{n}'(x)+\frac{1}{x}\,i_{n}(x).

Passo 4

Temos então o sistema
\begin{cases} i_{n-1}-i_{n+1}=\displaystyle\frac{2n+1}{x}\,i_{n},\\[6pt] i_{n-1}+i_{n+1}=2\,i_{n}'+\displaystyle\frac{1}{x}\,i_{n}. \end{cases}
Multiplicando a primeira por n e a segunda por n+1 e somando:
n(i_{n-1}-i_{n+1})+(n+1)(i_{n-1}+i_{n+1}) =(2n+1)\,i_{n}'(x).
No lado esquerdo sai exatamente n\,i_{n-1}+(n+1)\,i_{n+1}, portanto
n\,i_{n-1}(x)+(n+1)\,i_{n+1}(x) =(2n+1)\,i_{n}'(x).]

Resposta

i_{n-1}(x)-i_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{x}\,i_{n}(x), \qquad n\,i_{n-1}(x)+(n+1)\,i_{n+1}(x)=(2n+1)\,i_{n}'(x).

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