11.7.18 Mostre que as relações de recorrência para
e
são
,
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as recorrências
onde
é a função de Bessel esférica modificada de primeira espécie.
Para isso vamos usar a definição
Para isso vamos usar a definição
e as fórmulas de recorrência para as funções de Bessel modificadas
:
Passo 2
Escolhendo
na relação
temos
Multiplicando ambos os lados por
surge
que é a primeira relação.
Passo 3
Agora use a segunda relação de
:
Multiplicando por
dá
Para ligar isso a
observe
e nota-se que
Logo
Passo 4
Temos então o sistema
Multiplicando a primeira por
n e a segunda por
n+1 e somando:
No lado esquerdo sai exatamente
n,in-1+(n+1),in+1 , portanto