Derive a Equação (11.175):
\int_{-\infty}^{\infty}\left[j_{n}(x)\right]^{2} d x=\frac{\pi}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função esférica de Bessel de ordem n,
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2}\,dx \;=\;\frac{\pi}{2n+1}.
O que vamos usar é a relação entre a função esférica de Bessel j_{n}(x) e a função de Bessel cilíndrica J_{\nu}(x), além de um integral padrão de J_{\nu}^{2}(x).

Passo 2

Lembramos que
j_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;J_{n+\tfrac12}(x).
Logo,
\bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2} =\frac{\pi}{2x}\;J_{n+\tfrac12}^{2}(x).

Passo 3

Como \bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2} é função par (pois j_{n}(-x)=(-1)^{n}j_{n}(x)), temos
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2}\,dx =2\int_{0}^{\infty}\bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2}\,dx =2\int_{0}^{\infty}\frac{\pi}{2x}\,J_{n+\tfrac12}^{2}(x)\,dx.
Cancelando o 2 no numerador e denominador, fica
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2}\,dx =\pi\int_{0}^{\infty}\frac{J_{n+\tfrac12}^{2}(x)}{x}\,dx.

Passo 4

Agora usamos o resultado clássico (válido para \Re(\nu)>0):
\int_{0}^{\infty}\frac{J_{\nu}^{2}(x)}{x}\,dx =\frac{1}{2\nu}.
Aqui \nu=n+\tfrac12>0.

Passo 5

Substituindo \nu=n+\tfrac12 na fórmula anterior, obtemos
\int_{0}^{\infty}\frac{J_{n+\tfrac12}^{2}(x)}{x}\,dx =\frac{1}{2\bigl(n+\tfrac12\bigr)} =\frac{1}{2n+1}.
Multiplicando por \pi, concluímos que
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2}\,dx =\pi\;\frac{1}{2n+1} =\frac{\pi}{2n+1}.

Resposta

\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[j_{n}(x)\bigr]^{2}\,dx =\frac{\pi}{2n+1}.

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