Derive a Equação (11.175):
integral-infty^infty[jn(x)]^2 d x=pi2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função esférica de Bessel de ordem n,
integral-infty^inftyl[jn(x)r]^2,dx ;=;pi2n+1
O que vamos usar é a relação entre a função esférica de Bessel jn(x) e a função de Bessel cilíndrica Jnu(x), além de um integral padrão de Jnu^2(x).

Passo 2

Lembramos que
jn(x)=raizpi2x;Jn+tfrac12(x)
Logo,
l[jn(x)r]^2 =pi2x;Jn+tfrac12^2(x)

Passo 3

Como l[jn(x)r]^2 é função par (pois jn(-x)=(-1)^njn(x)), temos
integral-infty^inftyl[jn(x)r]^2,dx =2integral0^inftyl[jn(x)r]^2,dx =2integral0^inftypi2x,Jn+tfrac12^2(x),dx
Cancelando o 2 no numerador e denominador, fica
integral-infty^inftyl[jn(x)r]^2,dx =piintegral0^inftyJn+tfrac12^2(x)x,dx

Passo 4

Agora usamos o resultado clássico (válido para Re(nu)>0):
integral0^inftyJnu^2(x)x,dx =12nu
Aqui nu=n+tfrac12>0.

Passo 5

Substituindo nu=n+tfrac12 na fórmula anterior, obtemos
integral0^inftyJn+tfrac12^2(x)x,dx =12l(n+tfrac12r) =12n+1
Multiplicando por pi, concluímos que
integral-infty^inftyl[jn(x)r]^2,dx =pi;12n+1 =pi2n+1

Resposta

integral-infty^inftyl[jn(x)r]^2,dx =pi2n+1

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