11.7.22 A função de onda radial da Mecânica Quântica para uma onda espalhada é dada por
psik=sen(k r+de<a0)k r,
em que k é o número de onda, k=raiz2 m E / hbar, e de<a0 é o deslocamento da fase do espalhamento. Mostre que a integral de normalização é
integral0^infty psik(r) psik^prime(r) r^2 d r=pi2 k de<a(k-k^prime)
Sugestão: Você pode usar uma representação de seno da função delta de Dirac. Veja o Exercício 15.3.8.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda radial espalhada
psik(r)=senl(k,r+de<a0r)k,r
e pede para mostrar que ela satisfaz a condição de ortonormalidade “contínua”
integral0^inftypsik(r),psik'(r),r^2,dr =pi2,k,de<al(k-k'r)
O conteúdo envolve representação da função delta de Dirac via integrais oscilatórias, em particular usando
integral0^inftycosl(alpha,rr),dr =pi,de<a(alpha)

Passo 2

Escrevemos a integral de normalização e substituímos psik e psik':
I=integral0^inftypsik(r),psik'(r),r^2,dr =integral0^infty senl(k,r+de<a0r)k,r ;senl(k',r+de<a0r)k',r;r^2,dr

Passo 3

Note que r^2 cancela o r times r do denominador, ficando
I=1k k'integral0^infty sinl(k r + de<a0r) sinl(k' r + de<a0r) , dr

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
sen A,sen B =tfrac12l[cos(A-B)+cos(A+B)r]
com A=k,r+de<a0 e B=k',r+de<a0. Assim
sen(k,r+de<a0),sen(k',r+de<a0) =tfrac12l[cosl((k-k')rr) +cosl((k+k')r+2de<a0r)r]

Passo 5

Então a integral fica
I=12,k,k', integral0^inftyl[ cosl((k-k')rr) +cosl((k+k')r+2de<a0r) r],dr

Passo 6

O segundo termo
integral0^inftycosl((k+k')r+2de<a0r),dr
é uma integral oscilatória sem contribuição de massa de Dirac (fica zero em sentido de distribuições).

Passo 7

Para o primeiro termo usamos a representação da delta:
integral0^inftycosl((k-k')rr),dr =pi,de<al(k-k'r)
Logo
I=12,k,k';pi,de<al(k-k'r) =pi2,k,k',de<al(k-k'r)

Passo 8

Por fim, como de<a(k-k') “ativa” k'=k, podemos usar
tfrac1k,k',de<a(k-k')=tfrac1k,de<a(k-k'). Portanto
I=pi2,k,de<al(k-k'r),
que é justamente a normalização requerida.

Resposta

integral0^inftypsik(r),psik'(r),r^2,dr =pi2,k,de<al(k-k'r)

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