11.7.22 A função de onda radial da Mecânica Quântica para uma onda espalhada é dada por
em que
é o número de onda,
, e
é o deslocamento da fase do espalhamento. Mostre que a integral de normalização é
Sugestão: Você pode usar uma representação de seno da função delta de Dirac. Veja o Exercício 15.3.8.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda radial espalhada
e pede para mostrar que ela satisfaz a condição de ortonormalidade “contínua”
O conteúdo envolve representação da função delta de Dirac via integrais oscilatórias, em particular usando
Passo 2
Escrevemos a integral de normalização e substituímos
e
:
Passo 3
Note que
cancela o
do denominador, ficando
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica
com
e
. Assim
Passo 5
Então a integral fica
Passo 6
O segundo termo
é uma integral oscilatória sem contribuição de massa de Dirac (fica zero em sentido de distribuições).
é uma integral oscilatória sem contribuição de massa de Dirac (fica zero em sentido de distribuições).
Passo 7
Para o primeiro termo usamos a representação da delta:
Logo
Passo 8
Por fim, como
“ativa”
, podemos usar
. Portanto
que é justamente a normalização requerida.