11.7.22 A função de onda radial da Mecânica Quântica para uma onda espalhada é dada por
\psi_{k}=\frac{\operatorname{sen}\left(k r+\delta_{0}\right)}{k r},
em que k é o número de onda, k=\sqrt{2 m E / \hbar}, e \delta_{0} é o deslocamento da fase do espalhamento. Mostre que a integral de normalização é
\int_{0}^{\infty} \psi_{k}(r) \psi_{k^{\prime}}(r) r^{2} d r=\frac{\pi}{2 k} \delta\left(k-k^{\prime}\right)
Sugestão: Você pode usar uma representação de seno da função delta de Dirac. Veja o Exercício 15.3.8.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda radial espalhada
\psi_{k}(r)=\frac{\operatorname{sen}\bigl(k\,r+\delta_{0}\bigr)}{k\,r}
e pede para mostrar que ela satisfaz a condição de ortonormalidade “contínua”
\int_{0}^{\infty}\psi_{k}(r)\,\psi_{k'}(r)\,r^{2}\,dr =\frac{\pi}{2\,k}\,\delta\bigl(k-k'\bigr).
O conteúdo envolve representação da função delta de Dirac via integrais oscilatórias, em particular usando
\int_{0}^{\infty}\cos\bigl(\alpha\,r\bigr)\,dr =\pi\,\delta(\alpha).

Passo 2

Escrevemos a integral de normalização e substituímos \psi_{k} e \psi_{k'}:
I=\int_{0}^{\infty}\psi_{k}(r)\,\psi_{k'}(r)\,r^{2}\,dr =\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\bigl(k\,r+\delta_{0}\bigr)}{k\,r} \;\frac{\operatorname{sen}\bigl(k'\,r+\delta_{0}\bigr)}{k'\,r}\;r^{2}\,dr.

Passo 3

Note que r^{2} cancela o r \times r do denominador, ficando
I=\frac{1}{k k'}\int_{0}^{\infty} \sin\bigl(k r + \delta_{0}\bigr) \sin\bigl(k' r + \delta_{0}\bigr) \, dr.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen} A\,\operatorname{sen} B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr]
com A=k\,r+\delta_{0} e B=k'\,r+\delta_{0}. Assim
\operatorname{sen}(k\,r+\delta_{0})\,\operatorname{sen}(k'\,r+\delta_{0}) =\tfrac12\bigl[\cos\bigl((k-k')r\bigr) +\cos\bigl((k+k')r+2\delta_{0}\bigr)\bigr].

Passo 5

Então a integral fica
I=\frac{1}{2\,k\,k'}\, \int_{0}^{\infty}\Bigl[ \cos\bigl((k-k')r\bigr) +\cos\bigl((k+k')r+2\delta_{0}\bigr) \Bigr]\,dr.

Passo 6

O segundo termo
\int_{0}^{\infty}\cos\bigl((k+k')r+2\delta_{0}\bigr)\,dr
é uma integral oscilatória sem contribuição de massa de Dirac (fica zero em sentido de distribuições).

Passo 7

Para o primeiro termo usamos a representação da delta:
\int_{0}^{\infty}\cos\bigl((k-k')r\bigr)\,dr =\pi\,\delta\bigl(k-k'\bigr).
Logo
I=\frac{1}{2\,k\,k'}\;\pi\,\delta\bigl(k-k'\bigr) =\frac{\pi}{2\,k\,k'}\,\delta\bigl(k-k'\bigr).

Passo 8

Por fim, como \delta(k-k') “ativa” k'=k, podemos usar
\tfrac1{k\,k'}\,\delta(k-k')=\tfrac1{k}\,\delta(k-k'). Portanto
I=\frac{\pi}{2\,k}\,\delta\bigl(k-k'\bigr),
que é justamente a normalização requerida.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\psi_{k}(r)\,\psi_{k'}(r)\,r^{2}\,dr =\frac{\pi}{2\,k}\,\delta\bigl(k-k'\bigr).

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