11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
,
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas relações de recorrência das funções esféricas modificadas de Bessel
e
:
O conteúdo necessário são as relações clássicas de recorrência e derivação para as funções esféricas modificadas de Bessel:
- Recorrência
- Fórmulas de derivada
Passo 2
Mostramos primeiro que
Calculemos a derivada:
Substituindo
obtemos
Multiplicando por
dá
que, pela relação de recorrência para
, é exatamente
.
Passo 3
Análogo para
: queremos
De novo,
Usando
fica
Multiplicando por
resulta
que é justamente a relação de recorrência para
.
Resposta
Mostramos que