11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
in+1(x)=x^n dd x(x^-n in),
kn+1(x)=-x^n dd x(x^-n kn),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas relações de recorrência das funções esféricas modificadas de Bessel
,in(x) e ,kn(x):
in+1(x)=x^nddxl(x^-nin(x)r), kn+1(x)=-,x^nddxl(x^-nkn(x)r)
O conteúdo necessário são as relações clássicas de recorrência e derivação para as funções esféricas modificadas de Bessel:
  1. Recorrência
;in+1(x)=in-1(x)-2n+1x,in(x),
;kn+1(x)=kn-1(x)+2n+1x,kn(x)
  1. Fórmulas de derivada
;in'(x)=in-1(x)-n+1x,in(x),
;kn'(x)=-,kn-1(x)-n+1x,kn(x)

Passo 2

Mostramos primeiro que
;in+1(x)=x^nddxl(x^-nin(x)r)
Calculemos a derivada:
ddxl(x^-nin(x)r) =-n,x^-n-1in(x)+x^-nin'(x)
Substituindo in'(x)=in-1(x)-n+1xin(x) obtemos
ddxl(x^-ninr) =-n,x^-n-1in +x^-n!l(in-1-n+1xinr) =x^-nin-1-2n+1xx^-nin
Multiplicando por x^n
x^nddxl(x^-ninr) =in-1(x)-2n+1xin(x),
que, pela relação de recorrência para in+1, é exatamente in+1(x).

Passo 3

Análogo para kn: queremos
;kn+1(x)=-,x^nddxl(x^-nkn(x)r)
De novo,
ddxl(x^-nknr) =-n,x^-n-1kn+x^-nkn'(x)
Usando kn'(x)=-kn-1(x)-n+1xkn(x) fica
ddxl(x^-nknr) =-n,x^-n-1kn +x^-n!l(-kn-1-n+1xknr) =-x^-nkn-1-2n+1xx^-nkn
Multiplicando por -x^n resulta
-,x^nddxl(x^-nknr) =kn-1(x)+2n+1xkn(x),
que é justamente a relação de recorrência para kn+1(x).

Resposta

Mostramos que
in+1(x)=x^nddxl(x^-nin(x)r), kn+1(x)=-,x^nddxl(x^-nkn(x)r)

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