11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
i_{n+1}(x)=x^{n} \frac{d}{d x}\left(x^{-n} i_{n}\right),
k_{n+1}(x)=-x^{n} \frac{d}{d x}\left(x^{-n} k_{n}\right),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas relações de recorrência das funções esféricas modificadas de Bessel
\,i_n(x) e \,k_n(x):
i_{n+1}(x)=x^{n}\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}i_n(x)\bigr), \quad k_{n+1}(x)=-\,x^{n}\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}k_n(x)\bigr).
O conteúdo necessário são as relações clássicas de recorrência e derivação para as funções esféricas modificadas de Bessel:
  1. Recorrência
\;i_{n+1}(x)=i_{n-1}(x)-\frac{2n+1}{x}\,i_n(x),
\;k_{n+1}(x)=k_{n-1}(x)+\frac{2n+1}{x}\,k_n(x).
  1. Fórmulas de derivada
\;i_n'(x)=i_{n-1}(x)-\frac{n+1}{x}\,i_n(x),
\;k_n'(x)=-\,k_{n-1}(x)-\frac{n+1}{x}\,k_n(x).

Passo 2

Mostramos primeiro que
\;i_{n+1}(x)=x^{n}\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}i_n(x)\bigr).
Calculemos a derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}i_n(x)\bigr) =-n\,x^{-n-1}i_n(x)+x^{-n}i_n'(x).
Substituindo i_n'(x)=i_{n-1}(x)-\frac{n+1}{x}i_n(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}i_n\bigr) =-n\,x^{-n-1}i_n +x^{-n}\!\Bigl(i_{n-1}-\frac{n+1}{x}i_n\Bigr) =x^{-n}i_{n-1}-\frac{2n+1}{x}x^{-n}i_n.
Multiplicando por x^n
x^n\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}i_n\bigr) =i_{n-1}(x)-\frac{2n+1}{x}i_n(x),
que, pela relação de recorrência para i_{n+1}, é exatamente i_{n+1}(x).

Passo 3

Análogo para k_n: queremos
\;k_{n+1}(x)=-\,x^{n}\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}k_n(x)\bigr).
De novo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}k_n\bigr) =-n\,x^{-n-1}k_n+x^{-n}k_n'(x).
Usando k_n'(x)=-k_{n-1}(x)-\frac{n+1}{x}k_n(x) fica
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}k_n\bigr) =-n\,x^{-n-1}k_n +x^{-n}\!\Bigl(-k_{n-1}-\frac{n+1}{x}k_n\Bigr) =-x^{-n}k_{n-1}-\frac{2n+1}{x}x^{-n}k_n.
Multiplicando por -x^n resulta
-\,x^n\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}k_n\bigr) =k_{n-1}(x)+\frac{2n+1}{x}k_n(x),
que é justamente a relação de recorrência para k_{n+1}(x).

Resposta

Mostramos que
i_{n+1}(x)=x^{n}\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}i_n(x)\bigr), \qquad k_{n+1}(x)=-\,x^{n}\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}k_n(x)\bigr).

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