11.7.2 Derive as formas trigonométricas polinomiais de jn(z) e nn(z) ^27
jn(z)= & 1z sen(z-n pi2) sums=0^[n / 2] (-1)^s(n+2 s)!(2 s)!(2 z)^2 s(n-2 s)! & +1z cos (z-n pi2) sums=0^[(n-1) / 2] (-1)^s(n+2 s+1)!(2 s+1)!(2 z)^2 s(n-2 s-1)! nn(z)= & (-1)^n+1z cos (z+n pi2) sums=0^[n / 2] (-1)^s(n+2 s)!(2 s)!(2 z)^2 s(n-2 s)! & +(-1)^n+1z sen(z+n pi2) sums=0^[(n-1) / 2] (-1)^s(n+2 s+1)!(2 s+1)!(2 z)^2 s+1(n-2 s-1)!

Passo 1

O enunciado pede para obter as chamadas formas trigonométricas polinomiais das funções esféricas de Bessel
jn(z) e nn(z).
O que vamos usar:
1. A representação por derivadas
jn(z) =(-z)^nl(1zddzr)^nsin zz, nn(z) =(-1)^,n+1(-z)^nl(1zddzr)^ncos zz
2. A Regra de Leibniz para derivar produtos.
3. As identidades de mudança de fase
sin(z+alpha) e cos(z+alpha).

Passo 2

Transformamos a definição usando o fato de que
l(1zddzr)^n f(z) ;=; z^-nd^ndz^nl[z^nf(z)r]
Assim
jn(z) =(-z)^nz^-nd^ndz^nl[z^ntfracsin zzr] =(-1)^nd^ndz^nl[z^,n-1sin zr],
nn(z) =(-1)^n+1d^ndz^nl[z^,n-1cos zr]

Passo 3

Aplicamos a Regra de Leibniz a
d^ndz^nl[z^,n-1g(z)r],
onde g(z)=sin z ou g(z)=cos z.
d^ndz^nl[z^n-1g(z)r] =sumk=0^nbinomnk d^,n-kdz^,n-kl[z^n-1r] ;d^,kdz^,kg(z)
Como
d^,n-kdz^,n-kz^n-1 =(n-1)!(n-k-1)!,z^,n-k-1
e
d^,kdz^,ksin z=sinl(z+kpi/2r),
d^,kdz^,kcos z=cosl(z+kpi/2r),
fica
jn(z) =(-1)^n sumk=0^n binomnk (n-1)!(n-k-1)!, z^,n-k-1, sinl(z+ktfracpi2r),
nn(z) =(-1)^n+1 sumk=0^n binomnk (n-1)!(n-k-1)!, z^,n-k-1, cosl(z+ktfracpi2r)

Passo 4

Agora separamos a soma em termos pares ( k=2s) e ímpares ( k=2s+1).
Por exemplo, em jn:
  • Para k=2s, sin(z+2spi/2)=(-1)^ssin z.
  • Para k=2s+1, sin(z+(2s+1)pi/2)=(-1)^scos z.
    Isso gera uma forma preliminar
jn(z) =1zl[ sin zsums=0^lfloor n/2rfloorAsz^2s ;-; cos zsums=0^lfloor(n-1)/2rfloorBsz^2s+1 r],
onde As e Bs são coeficientes em termos de n e s obtidos da combinação
binomnk,(n-1)!/(n-k-1)!.
Simplificando esses coeficientes com manipulação de fatoriais chega-se a
As =(-1)^s(n+2s)!(2s)!,(n-2s)!,2^2s, Bs =(-1)^s(n+2s+1)!(2s+1)!,(n-2s-1)!,2^2s

Passo 5

Para obter a forma final em termos de sinl(z-tfracnpi2r) e
cosl(z-tfracnpi2r), usamos
sin z =sinl(z-tfracnpi2r)cosl(tfracnpi2r) +cosl(z-tfracnpi2r)sinl(tfracnpi2r),
cos z =cosl(z-tfracnpi2r)cosl(tfracnpi2r) -sinl(z-tfracnpi2r)sinl(tfracnpi2r),
e os valores cos(npi/2), sin(npi/2)in0,pm1.
Fazendo essa combinação e reorganizando as somas obtemos exatamente
jn(z) =1z,sinl(z-tfracnpi2r)! sums=0^lfloor n/2rfloor (-1)^s(n+2s)!(2s)!,(n-2s)!,(2z)^2s ;+; 1z,cosl(z-tfracnpi2r)! sums=0^lfloor (n-1)/2rfloor (-1)^s(n+2s+1)!(2s+1)!,(n-2s-1)!,(2z)^2s

Passo 6

O mesmo procedimento vale para
nn(z) começando com cos z/z e o fator global
(-1)^,n+1. Através de Leibniz e mudança de fase chega-se a
nn(z) =(-1)^n+1z,cosl(z+tfracnpi2r)! sums=0^lfloor n/2rfloor (-1)^s(n+2s)!(2s)!,(n-2s)!,(2z)^2s ;+; (-1)^n+1z,sinl(z+tfracnpi2r)! sums=0^lfloor (n-1)/2rfloor (-1)^s(n+2s+1)!(2s+1)!,(n-2s-1)!,(2z)^2s+1

Resposta

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