11.7.2 Derive as formas trigonométricas polinomiais de
e
Passo 1
O enunciado pede para obter as chamadas formas trigonométricas polinomiais das funções esféricas de Bessel
e
.
O que vamos usar:
. A representação por derivadas
O que vamos usar:
Passo 2
Transformamos a definição usando o fato de que
Assim
Passo 3
Aplicamos a Regra de Leibniz a
,
onde ou
.
onde
Como
e
,
,
fica
e
fica
Passo 4
Agora separamos a soma em termos pares (
) e ímpares (
).
Por exemplo, em :
Por exemplo, em
- Para
, . - Para
, .
Isso gera uma forma preliminar
onde
e
são coeficientes em termos de
e
obtidos da combinação
.
Simplificando esses coeficientes com manipulação de fatoriais chega-se a
Simplificando esses coeficientes com manipulação de fatoriais chega-se a
Passo 5
Para obter a forma final em termos de
e
, usamos
e os valores
,
.
Fazendo essa combinação e reorganizando as somas obtemos exatamente
Fazendo essa combinação e reorganizando as somas obtemos exatamente
Passo 6
O mesmo procedimento vale para
começando com
e o fator global
. Através de Leibniz e mudança de fase chega-se a
Resposta
]