Mostre que
integral0^infty Jmu(x) Jnu(x) d xx=2pi sen[(mu-nu) pi / 2]mu^2-nu^2, mu+nu>-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob a condição mu+nu>-1, vale
integral0^inftyJmu(x),Jnu(x),dxx =2pi,sin!l[(mu-nu)pi/2r]mu^2-nu^2
O conteúdo necessário é o chamado integral de Weber–Schafheitlin para produtos de funções de Bessel. Vamos usar a fórmula geral e, em seguida, especializá-la a lambda=1.

Passo 2

A fórmula de Weber–Schafheitlin (ver, por exemplo, Gradshteyn–Ryzhik 6.574.2) afirma que, para
Re(mu+nu+1)>Re(lambda)>0,
integral0^inftyx^-lambdaJmu(x),Jnu(x),dx =Gamma(lambda),Gamma!l(tfracmu+nu+1-lambda2r) 2^lambda, Gamma!l(tfracnu-mu+1+lambda2r), Gamma!l(tfracmu-nu+1+lambda2r), Gamma!l(tfracmu+nu+1+lambda2r)

Passo 3

Neste problema temos lambda=1. Logo
integral0^inftyx^-1Jmu(x),Jnu(x),dx =Gamma(1),Gamma!l(tfracmu+nu2r) 2^1, Gamma!l(tfracnu-mu+22r), Gamma!l(tfracmu-nu+22r), Gamma!l(tfracmu+nu+22r)
Como Gamma(1)=1, defina
A=mu+nu2, B=mu-nu2
Então
integral0^inftyJmu(x),Jnu(x)x,dx =Gamma(A)2;Gamma(1-B),Gamma(1+B),Gamma(A+1)

Passo 4

Use a relação de recorrência Gamma(A+1)=A,Gamma(A). Assim
integral0^inftyJmu(x),Jnu(x)x,dx =Gamma(A)2,Gamma(1-B),Gamma(1+B),A,Gamma(A) =12,A,Gamma(1-B),Gamma(1+B)

Passo 5

Para o produto Gamma(1+B),Gamma(1-B) usamos a fórmula de reflexão
Gamma(1+B),Gamma(1-B) = B,Gamma(B),Gamma(1-B) = B,pisin(pi B)
Logo
integral0^inftyJmu(x),Jnu(x)x,dx =12,A,sin(pi B)pi,B =sin!l(pimu-nu2r)2,pi,mu+nu2,mu-nu2 =2pi,sin!l[(mu-nu)pi/2r]mu^2-nu^2

Resposta

boxed integral0^inftyJmu(x),Jnu(x),dxx =2pi,sin!l[(mu-nu)pi/2r]mu^2-nu^2, mu+nu>-1

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