11.7.12 Estabeleça a integral de ortogonalidade para j_{L}(k r) dentro de uma esfera de raio R com a condição de contorno
j_{L}(k R)=0 .
O resultado é usado na classificação de radiação eletromagnética conforme seu momento angular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se k_{n} e k_{m} são duas raízes distintas da condição de contorno
j_{L}\bigl(kR\bigr)=0,
então as funções radiais \,r\mapsto j_{L}(k_{n}r) e \,r\mapsto j_{L}(k_{m}r) são ortogonais no peso r^{2} em [0,R], e para n=m obter o valor do integral de normalização. O conteúdo usado é o método de Sturm–Liouville aplicado à equação dos bessel esféricos.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial de ordem dois para j_{L}(kr) em forma de Sturm–Liouville:
\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}\,\frac{d}{dr}j_{L}(kr)\Bigr)+\bigl(k^{2}r^{2}-L(L+1)\bigr)j_{L}(kr)=0.
Sejam agora duas soluções j_{L}(k_{n}r) e j_{L}(k_{m}r) com k_{n}\neq k_{m}. Multiplicamos a equação de k_{n} por j_{L}(k_{m}r) e a de k_{m} por j_{L}(k_{n}r), e subtraímos:
j_{L}(k_{m}r)\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}j_{L}'(k_{n}r)\Bigr) - j_{L}(k_{n}r)\,\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^{2}j_{L}'(k_{m}r)\Bigr) +(k_{n}^{2}-k_{m}^{2})\,r^{2}j_{L}(k_{n}r)j_{L}(k_{m}r)=0.

Passo 3

Reconhecemos o termo total em derivada:
\frac{d}{dr}\Bigl[r^{2}\bigl(j_{L}(k_{m}r)\,j_{L}'(k_{n}r) - j_{L}(k_{n}r)\,j_{L}'(k_{m}r)\bigr)\Bigr] +(k_{n}^{2}-k_{m}^{2})\,r^{2}j_{L}(k_{n}r)j_{L}(k_{m}r)=0.
Integramos de r=0 a r=R:
(k_{n}^{2}-k_{m}^{2}) \int_{0}^{R}r^{2}j_{L}(k_{n}r)j_{L}(k_{m}r)\,dr = \bigl[r^{2}\bigl(j_{L}(k_{m}r)j_{L}'(k_{n}r) - j_{L}(k_{n}r)j_{L}'(k_{m}r)\bigr)\bigr]_{0}^{R}.

Passo 4

Avaliamo os termos de contorno. Em r=0, j_{L}(kr)\sim r^{L} faz o termo nulo. Em r=R, pela condição j_{L}(k_{n}R)=j_{L}(k_{m}R)=0, também desaparece. Logo, para n\neq m, o lado esquerdo só pode ser zero, o que prova a ortogonalidade:
\int_{0}^{R}r^{2}j_{L}(k_{n}r)\,j_{L}(k_{m}r)\,dr=0 \quad(n\neq m).

Passo 5

Para n=m, fazemos k_{m}\to k_{n} e aplicamos regra de l’Hôpital ao resultado anterior. O limite conduz ao valor da integral de normalização, usando também a relação
j_{L}'(\zeta_{n})=j_{L+1}(\zeta_{n}),
onde \zeta_{n}=k_{n}R é o n-ésimo zero de j_{L}. O resultado padrão é
\int_{0}^{R}r^{2}\bigl[j_{L}(k_{n}r)\bigr]^{2}\,dr =\\ \frac{R^{3}}{2}\,\bigl[j_{L+1}(k_{n}R)\bigr]^{2}.

Resposta

\boxed{ \int_{0}^{R}r^{2}j_{L}(k_{n}r)\,j_{L}(k_{m}r)\,dr = \frac{R^{3}}{2}\,[\,j_{L+1}(k_{n}R)\,]^{2}\,\delta_{nm} }

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