11.7.12 Estabeleça a integral de ortogonalidade para jL(k r) dentro de uma esfera de raio R com a condição de contorno
jL(k R)=0
O resultado é usado na classificação de radiação eletromagnética conforme seu momento angular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se kn e km são duas raízes distintas da condição de contorno
jLl(kRr)=0,
então as funções radiais ,rmapsto jL(knr) e ,rmapsto jL(kmr) são ortogonais no peso r^2 em [0,R], e para n=m obter o valor do integral de normalização. O conteúdo usado é o método de Sturm–Liouville aplicado à equação dos bessel esféricos.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial de ordem dois para jL(kr) em forma de Sturm–Liouville:
ddr!l(r^2,ddrjL(kr)r)+l(k^2r^2-L(L+1)r)jL(kr)=0
Sejam agora duas soluções jL(knr) e jL(kmr) com knneq km. Multiplicamos a equação de kn por jL(kmr) e a de km por jL(knr), e subtraímos:
jL(kmr),ddr!l(r^2jL'(knr)r) - jL(knr),ddr!l(r^2jL'(kmr)r) +(kn^2-km^2),r^2jL(knr)jL(kmr)=0

Passo 3

Reconhecemos o termo total em derivada:
ddrl[r^2l(jL(kmr),jL'(knr) - jL(knr),jL'(kmr)r)r] +(kn^2-km^2),r^2jL(knr)jL(kmr)=0
Integramos de r=0 a r=R:
(kn^2-km^2) integral0^Rr^2jL(knr)jL(kmr),dr = l[r^2l(jL(kmr)jL'(knr) - jL(knr)jL'(kmr)r)r]0^R

Passo 4

Avaliamo os termos de contorno. Em r=0, jL(kr)sim r^L faz o termo nulo. Em r=R, pela condição jL(knR)=jL(kmR)=0, também desaparece. Logo, para nneq m, o lado esquerdo só pode ser zero, o que prova a ortogonalidade:
integral0^Rr^2jL(knr),jL(kmr),dr=0 (nneq m)

Passo 5

Para n=m, fazemos kmto kn e aplicamos regra de l’Hôpital ao resultado anterior. O limite conduz ao valor da integral de normalização, usando também a relação
jL'(zetan)=jL+1(zetan),
onde zetan=knR é o n-ésimo zero de jL. O resultado padrão é
integral0^Rr^2l[jL(knr)r]^2,dr = R^32,l[jL+1(knR)r]^2

Resposta

boxed integral0^Rr^2jL(knr),jL(kmr),dr = R^32,[,jL+1(knR),]^2,de<anm

Exercícios de Livros Relacionados