11.7.12 Estabeleça a integral de ortogonalidade para
dentro de uma esfera de raio
com a condição de contorno
O resultado é usado na classificação de radiação eletromagnética conforme seu momento angular.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
e
são duas raízes distintas da condição de contorno
então as funções radiais
e
são ortogonais no peso
em
, e para
obter o valor do integral de normalização. O conteúdo usado é o método de Sturm–Liouville aplicado à equação dos bessel esféricos.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial de ordem dois para
em forma de Sturm–Liouville:
Sejam agora duas soluções
e
com
. Multiplicamos a equação de
por
e a de
por
, e subtraímos:
Passo 3
Reconhecemos o termo total em derivada:
Integramos de
a
:
Passo 4
Avaliamo os termos de contorno. Em
,
faz o termo nulo. Em
, pela condição
, também desaparece. Logo, para
, o lado esquerdo só pode ser zero, o que prova a ortogonalidade:
Passo 5
Para
, fazemos
e aplicamos regra de l’Hôpital ao resultado anterior. O limite conduz ao valor da integral de normalização, usando também a relação
onde
é o
-ésimo zero de
. O resultado padrão é