11.7.16 Mostre que a paridade de i_{n}(x) é (-1)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função i_{n}(x) satisfaz
i_{n}(-x)=(-1)^{n}i_{n}(x),
ou seja, sua paridade é (-1)^{n}. Para isso vamos usar a expansão em série de potências de i_{n}(x), que exibe claramente quais potências de x aparecem.

Passo 2

A definição em série de potências de i_{n}(x) (função de Bessel esférica modificada de primeira espécie) é
i_{n}(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!\,(n+m)!}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n+2m}.
Observe que cada termo desta soma é proporcional a x^{\,n+2m}, ou seja, somente potências cuja paridade é a de n aparecem.

Passo 3

Agora substituímos x\mapsto -x na série:
i_{n}(-x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!\,(n+m)!}\Bigl(\frac{-x}{2}\Bigr)^{n+2m} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+2m}}{m!\,(n+m)!}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n+2m}.
Como 2m é sempre par, temos (-1)^{n+2m}=(-1)^{n}. Logo
i_{n}(-x) =(-1)^{n}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!\,(n+m)!}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n+2m} =(-1)^{n}i_{n}(x).

Resposta

A paridade de i_{n}(x) é \displaystyle (-1)^{n}.

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