11.7.16 Mostre que a paridade de in(x) é (-1)^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função in(x) satisfaz
in(-x)=(-1)^nin(x),
ou seja, sua paridade é (-1)^n. Para isso vamos usar a expansão em série de potências de in(x), que exibe claramente quais potências de x aparecem.

Passo 2

A definição em série de potências de in(x) (função de Bessel esférica modificada de primeira espécie) é
in(x) =summ=0^infty1m!,(n+m)!l(x2r)^n+2m
Observe que cada termo desta soma é proporcional a x^,n+2m, ou seja, somente potências cuja paridade é a de n aparecem.

Passo 3

Agora substituímos xmapsto -x na série:
in(-x) =summ=0^infty1m!,(n+m)!l(-x2r)^n+2m =summ=0^infty(-1)^,n+2mm!,(n+m)!l(x2r)^n+2m
Como 2m é sempre par, temos (-1)^n+2m=(-1)^n. Logo
in(-x) =(-1)^nsumm=0^infty1m!,(n+m)!l(x2r)^n+2m =(-1)^nin(x)

Resposta

A paridade de in(x) é (-1)^n.

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