Você tem uma transformada de Laplace:
f(s)=1(s+a)(s+b), a neq b
Inverta essa transformada por cada um dos três métodos:
(c) Integral de Bromwich.

Passo 1

O enunciado pede a inversão da transformada de Laplace
F(s)=1(s+a)(s+b), aneq b
usando o método da integral de Bromwich. Vamos precisar do teorema dos resíduos para converter a integral complexa num somatório de resíduos.

Passo 2

Escrevemos a fórmula da transformada inversa pelo caminho de Bromwich:
f(t)=12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^stF(s),ds
Aqui gamma é uma constante real tal que a reta Re(s)=gamma fica à direita de todas as singularidades de F(s). Para t>0, fechamos o contorno no semiplano esquerdo e aplicamos o teorema dos resíduos.

Passo 3

Identificamos as singularidades de F(s). O denominador anula-se em
s=-a e s=-b
Ambos são polos simples. O contorno fechado pelo semicírculo no semiplano Re(s)<gamma captura os polos s=-a e s=-b.

Passo 4

Calculamos os resíduos de e^stF(s) em cada polo:
Residuo em s=-a:
Resl(e^stF(s),s=-ar) =limsto -a(s+a)e^st(s+a)(s+b) =e^-a t-a+b =e^-a tb-a
Residuo em s=-b:
Resl(e^stF(s),s=-br) =limsto -b(s+b)e^st(s+a)(s+b) =e^-b t-b+a =e^-b ta-b =-e^-b tb-a

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos, a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos. Logo,
f(t) =12pi i,2pi il(e^-a tb-a-e^-b tb-ar) =e^-a t-e^-b tb-a

Resposta

f(t)=e^-a t-e^-b tb-a, t>0

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