12.3.15 Determine o potencial eletrostático (expansão de Legendre) de um anel circular de carga elétrica para r<a.

Passo 1

O enunciado pede o potencial eletrostático de um anel circular de raio a e carga total Q no regime r<a, usando expansão em polinômios de Legendre. Vamos trabalhar em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), tomando o anel no plano \theta'=\pi/2 e usar a fórmula
\Phi(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{anel}}\frac{dq}{\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert}
e a expansão de Legendre para 1/\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert.

Passo 2

Escrevendo o elemento de carga como
dq=\frac{Q}{2\pi a}\,a\,d\varphi' =\frac{Q}{2\pi}\,d\varphi',
e usando para r<a a expansão
\frac{1}{\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert} =\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r^l}{a^{\,l+1}}P_l(\cos\gamma),
onde \gamma é o ângulo entre \mathbf r e \mathbf r'.

Passo 3

Como o anel está em \theta'=\pi/2 e \varphi' varia de 0 a 2\pi, temos \cos\gamma=\sin\theta\cos(\varphi-\varphi'). Logo
\Phi(r,\theta) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{l=0}^\infty\frac{r^l}{a^{\,l+1}} \int_0^{2\pi}P_l\bigl(\sin\theta\cos(\varphi-\varphi')\bigr)\,\frac{Q}{2\pi}\,d\varphi'.

Passo 4

Usando o teorema de adição de Legendre ou a propriedade de que
\int_{0}^{2\pi}P_l\bigl(\sin\theta\cos\varphi'\bigr)\,d\varphi' =2\pi\,P_l(0)\,P_l(\cos\theta),
vemos que apenas m=0 sobrevive e surge o fator P_l(0). Assim
\Phi(r,\theta) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{l=0}^\infty\frac{r^l}{a^{\,l+1}} \,P_l(0)\,P_l(\cos\theta).

Passo 5

Observando que P_l(0)=0 para l ímpar, podemos também escrever a soma só sobre l pares. A forma final é
\Phi(r,\theta) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,a} \sum_{l=0}^{\infty}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^{\!l}P_l(0)\,P_l(\cos\theta).

Resposta

\boxed{ \Phi(r,\theta) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,a} \sum_{l=0}^{\infty}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^{\!l}\,P_l(0)\,P_l(\cos\theta), \quad r<a. }

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