12.3.15 Determine o potencial eletrostático (expansão de Legendre) de um anel circular de carga elétrica para
.
Passo 1
O enunciado pede o potencial eletrostático de um anel circular de raio
e carga total
no regime
, usando expansão em polinômios de Legendre. Vamos trabalhar em coordenadas esféricas
, tomando o anel no plano
e usar a fórmula
e a expansão de Legendre para
.
Passo 2
Escrevendo o elemento de carga como
e usando para
a expansão
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Como o anel está em
e
varia de
a
, temos
. Logo
Passo 4
Usando o teorema de adição de Legendre ou a propriedade de que
vemos que apenas
sobrevive e surge o fator
. Assim
Passo 5
Observando que
para
ímpar, podemos também escrever a soma só sobre
pares. A forma final é