15.12.6 Use a integral de Bromwich para achar a função cuja transformada é f(s)=s^-1 / 2. Note que f(s) tem um ponto de ramificação em s=0. O eixo x negativo pode ser considerado uma linha de corte.
Resposta: F(t)=(pi t)^-1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Bromwich de
f(s)=s^-1/2
para obter F(t). O conteúdo é inversão de Laplace via integral de Bromwich, usando o ramo de s^-1/2 com linha de corte ao longo do eixo real negativo.

Passo 2

Escrevemos a inversa de Bromwich:
F(t)=12pi iintegralgamma-iinfty^gamma+iinftys^-1/2e^st,ds,
onde escolhemos o corte de ramo para arg s=pmpi. Depois deformamos o contorno para envolver o corte no eixo negativo, obtendo um contorno de Hankel ao redor do eixo real negativo.

Passo 3

No ramo acima do corte temos s=re^ipi com s^-1/2=r^-1/2e^-ipi/2; abaixo do corte s=re^-ipi com s^-1/2=r^-1/2e^+ipi/2. O salto da integral é
De<a s^-1/2 = r^-1/2l(e^+ipi/2-e^-ipi/2r) = r^-1/2(i-(-,i))=2i,r^-1/2

Passo 4

Substituindo na inversa de Bromwich obtém-se
F(t) =12pi iintegral0^inftye^-rt,De<a s^-1/2,dr =12pi iintegral0^inftye^-rt,2i,r^-1/2,dr =1piintegral0^inftyr^-1/2e^-rt,dr

Passo 5

Reconhecemos a integral de Euler:
integral0^inftyr^mu-1e^-tr,dr =Gamma(mu)t^mu,
com mu=tfrac12, Gamma(tfrac12)=raizpi. Então
integral0^inftyr^-1/2e^-rt,dr =raizpit^1/2
Assim
F(t)=1pi,raizpit^1/2 =1raizpi,t

Resposta

F(t)=(pi,t)^-1/2

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