15.12.6 Use a integral de Bromwich para achar a função cuja transformada é
. Note que
tem um ponto de ramificação em
. O eixo
negativo pode ser considerado uma linha de corte.
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Bromwich de
para obter
. O conteúdo é inversão de Laplace via integral de Bromwich, usando o ramo de
com linha de corte ao longo do eixo real negativo.
Passo 2
Escrevemos a inversa de Bromwich:
onde escolhemos o corte de ramo para
. Depois deformamos o contorno para envolver o corte no eixo negativo, obtendo um contorno de Hankel ao redor do eixo real negativo.
Passo 3
No ramo acima do corte temos
com
; abaixo do corte
com
. O salto da integral é
Passo 4
Substituindo na inversa de Bromwich obtém-se
Passo 5
Reconhecemos a integral de Euler:
com
,
. Então
Assim