Pela discussão da ortogonalidade das funções esféricas de Bessel, mostre que uma relação wronskiana para j_{n}(x) e n_{n}(x) é
j_{n}(x) n_{n}^{\prime}(x)-j_{n}^{\prime}(x) n_{n}(x)=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que o Wronskiano das funções esféricas de Bessel j_{n}(x) e n_{n}(x) satisfaz
j_{n}(x)\,n_{n}^{\prime}(x)-j_{n}^{\prime}(x)\,n_{n}(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Para isso, vamos usar (i) a equação diferencial de segunda ordem que ambas obedecem e (ii) a definição geral de Wronskiano para EDOs.

Passo 2

As funções j_{n} e n_{n} satisfazem a EDO
y''+\frac{2}{x}\,y'+\Bigl(1-\frac{n(n+1)}{x^{2}}\Bigr)y=0.
Em qualquer EDO da forma
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0
o Wronskiano W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} satisfaz
W'=-P(x)\,W.
Aqui P(x)=2/x, logo
W(x)=\frac{C}{x^{2}},
com C constante a determinar.

Passo 3

Para achar C, usamos o comportamento assintótico para x\to\infty:
j_{n}(x)\sim\frac{\sin\!\bigl(x-\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{x},\quad n_{n}(x)\sim-\frac{\cos\!\bigl(x-\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{x}.
Calculando derivadas dominantes,
j_{n}'\sim\frac{\cos(u)}{x}-\frac{\sin(u)}{x^{2}},\quad n_{n}'\sim\frac{\sin(u)}{x}+\frac{\cos(u)}{x^{2}}, \quad u=x-\tfrac{n\pi}{2}.
Então
j_{n}\,n_{n}'-j_{n}'\,n_{n} =\frac{\sin^{2}(u)}{x^{2}}+\frac{\cos^{2}(u)}{x^{2}} =\frac{1}{x^{2}}.
Isso fixa C=1.

Resposta

j_{n}(x)\,n_{n}^{\prime}(x)-j_{n}^{\prime}(x)\,n_{n}(x)=\frac{1}{x^{2}}.

Exercícios de Livros Relacionados