Pela discussão da ortogonalidade das funções esféricas de Bessel, mostre que uma relação wronskiana para
e
é
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que o Wronskiano das funções esféricas de Bessel
e
satisfaz
Para isso, vamos usar (i) a equação diferencial de segunda ordem que ambas obedecem e (ii) a definição geral de Wronskiano para EDOs.
Passo 2
As funções
e
satisfazem a EDO
Em qualquer EDO da forma
o Wronskiano
satisfaz
Aqui
, logo
com
constante a determinar.
Passo 3
Para achar
, usamos o comportamento assintótico para
:
Calculando derivadas dominantes,
Então
Isso fixa
.