Pela discussão da ortogonalidade das funções esféricas de Bessel, mostre que uma relação wronskiana para jn(x) e nn(x) é
jn(x) nn^prime(x)-jn^prime(x) nn(x)=1x^2

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que o Wronskiano das funções esféricas de Bessel jn(x) e nn(x) satisfaz
jn(x),nn^prime(x)-jn^prime(x),nn(x)=1x^2
Para isso, vamos usar (i) a equação diferencial de segunda ordem que ambas obedecem e (ii) a definição geral de Wronskiano para EDOs.

Passo 2

As funções jn e nn satisfazem a EDO
y''+2x,y'+l(1-n(n+1)x^2r)y=0
Em qualquer EDO da forma
y''+P(x),y'+Q(x),y=0
o Wronskiano W(x)=y1y2'-y1'y2 satisfaz
W'=-P(x),W
Aqui P(x)=2/x, logo
W(x)=Cx^2,
com C constante a determinar.

Passo 3

Para achar C, usamos o comportamento assintótico para xtoinfty:
jn(x)simsin!l(x-tfracnpi2r)x, nn(x)sim-cos!l(x-tfracnpi2r)x
Calculando derivadas dominantes,
jn'simcos(u)x-sin(u)x^2, nn'simsin(u)x+cos(u)x^2, u=x-tfracnpi2
Então
jn,nn'-jn',nn =sin^2(u)x^2+cos^2(u)x^2 =1x^2
Isso fixa C=1.

Resposta

jn(x),nn^prime(x)-jn^prime(x),nn(x)=1x^2

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