Derive ou verifique o fator principal nas representações hipergeométricas das funções de Chebyshev.

Passo 1

O enunciado pede para derivar ou ao menos verificar qual é o coeficiente (o “fator principal”) que multiplica a série hipergeométrica na representação das funções de Chebyshev do 1.º e do 2.º tipos, T_n(x) e U_n(x). Vamos usar a definição de série hipergeométrica e o valor das Chebyshev em x=1 para fixar esse fator.

Passo 2

Lembremos a definição da função hipergeométrica Gaussiana:
{}_2F_1(a,b;c;z)\;=\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_k\,(b)_k}{\text{(c)}_k\,k!}\;z^k,
onde (q)_k é o Pochhammer (rising factorial). Note que {}_2F_1(a,b;c;0)=1.

Passo 3

Para T_n(x) supomos a representação
T_n(x)=A_n\;{}_2F_1\bigl(-n,n;\tfrac12;\tfrac{1-x}2\bigr).
Avaliar em x=1 T_n(1)=1 e {}_2F_1(\!-n,n;\tfrac12;0)=1. Logo
1=T_n(1)=A_n\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad A_n=1.

Passo 4

Para U_n(x) supomos
U_n(x)=B_n\;{}_2F_1\bigl(-n,n+2;\tfrac32;\tfrac{1-x}2\bigr).
Sabemos que U_n(1)=n+1 e novamente a hipergeométrica em z=0 vale 1. Então
n+1=U_n(1)=B_n\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad B_n=n+1.

Resposta

T_n(x)={}_2F_1\bigl(-n,n;\tfrac12;\tfrac{1-x}2\bigr) U_n(x)=(n+1)\;{}_2F_1\bigl(-n,n+2;\tfrac32;\tfrac{1-x}2\bigr)

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