Derive ou verifique o fator principal nas representações hipergeométricas das funções de Chebyshev.
Passo 1
O enunciado pede para derivar ou ao menos verificar qual é o coeficiente (o “fator principal”) que multiplica a série hipergeométrica na representação das funções de Chebyshev do 1.º e do 2.º tipos,
e
. Vamos usar a definição de série hipergeométrica e o valor das Chebyshev em
para fixar esse fator.
Passo 2
Lembremos a definição da função hipergeométrica Gaussiana:
onde
é o Pochhammer (rising factorial). Note que
.
Passo 3
Para
supomos a representação
Avaliar em
dá
e
. Logo
Passo 4
Para
supomos
Sabemos que
e novamente a hipergeométrica em
vale 1. Então