13.4.9 Prove que
Sugestão: Experimente uma representação integral.
Nota: Essa relação é útil no desenvolvimento de uma representação de Rodrigues de
(compare com o Exercício 13.3.11).
Nota: Essa relação é útil no desenvolvimento de uma representação de Rodrigues de
Passo 1
O enunciado pede para provar a transformação
O conteúdo principal é a função hipergeométrica de Gauss, e vamos usar a representação integral de Euler:
válida para
.
Passo 2
Aplicando diretamente essa fórmula ao lado esquerdo, obtemos
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
O intervalo
vira
; invertendo a ordem da integral, fica
Passo 4
Observe que
então
Retirando o fator
da integral, temos
Passo 5
Mas a integral restante é exatamente a representação de Euler de
Comparando os fatores de Beta caem e resta