13.4.9 Prove que
{ }_{2} F_{1}(a, b ; c ; x)=(1-x)^{-a}{ }_{2} F_{1}\left(a, c-b ; c ; \frac{-x}{1-x}\right) .
Sugestão: Experimente uma representação integral.
Nota: Essa relação é útil no desenvolvimento de uma representação de Rodrigues de T_{n}(x) (compare com o Exercício 13.3.11).

Passo 1

O enunciado pede para provar a transformação
{}_2F_1(a,b;c;x)\;=\;(1-x)^{-a}\;{}_2F_1\!\bigl(a,c-b;c;\,-\tfrac{x}{1-x}\bigr).
O conteúdo principal é a função hipergeométrica de Gauss, e vamos usar a representação integral de Euler:
{}_2F_1(a,b;c;x) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1}t^{b-1}\,(1-t)^{c-b-1}\,(1-xt)^{-a}\,\mathrm{d}t,
válida para \Re\text{(c)}>\Re(b)>0.

Passo 2

Aplicando diretamente essa fórmula ao lado esquerdo, obtemos
{}_2F_1(a,b;c;x) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = 1 - t, \qquad t = 1 - u, \qquad \mathrm{d}t = -\,\mathrm{d}u.
O intervalo t\colon0\to1 vira u\colon1\to0; invertendo a ordem da integral, fica
\int_{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{1}(1-u)^{b-1}u^{\,c-b-1}\bigl(1 - x(1-u)\bigr)^{-a}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Observe que
1 - x(1-u) = 1 - x + x\,u = (1 - x)\Bigl(1 + \tfrac{x}{1-x}\,u\Bigr),
então
\bigl(1 - x(1-u)\bigr)^{-a} = (1-x)^{-a}\Bigl(1 + \tfrac{x}{1-x}\,u\Bigr)^{-a}.
Retirando o fator (1-x)^{-a} da integral, temos
{}_2F_1(a,b;c;x) =(1-x)^{-a}\,\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(b)\,\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1}u^{c-b-1}(1-u)^{b-1} \Bigl(1-\bigl(-\tfrac{x}{1-x}\bigr)u\Bigr)^{-a}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Mas a integral restante é exatamente a representação de Euler de
{}_2F_1\!\bigl(a,c-b;c;\,-\tfrac{x}{1-x}\bigr) =\frac{\Gamma\text{(c)}}{\Gamma(c-b)\,\Gamma(b)} \int_{0}^{1}u^{c-b-1}(1-u)^{b-1} \bigl(1-(-\tfrac{x}{1-x})u\bigr)^{-a}\,\mathrm{d}u.
Comparando os fatores de Beta caem e resta
{}_2F_1(a,b;c;x) =(1-x)^{-a}\;{}_2F_1\!\bigl(a,c-b;c;\,-\tfrac{x}{1-x}\bigr).

Resposta

{}_2F_1(a,b;c;x) =(1-x)^{-a}\;{}_2F_1\!\Bigl(a,c-b;c;-\tfrac{x}{1-x}\Bigr).

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