Para desafogar o trânsito, a prefeitura de uma grande cidade vem investindo na construção de corredores de ônibus. A soma dos comprimentos dos corredores tem aumentado linearmente desde o início da atual gestão, tendo atingido 80 km após 3 meses do início do mandato do prefeito, e 179 km ao final de 12 meses.
a) Defina uma função que forneça o comprimento total dos corredores (em km), em relação ao tempo, x (em meses), desde o início da atual gestão.
b) Determine quantos quilômetros de corredores já existiam no momento em que o prefeito tomou posse.
c) Determine em quanto tempo a cidade contará com 300 km de corredores.

Passo 1

O enunciado pede para modelar o comprimento total de corredores de ônibus por meio de uma função linear L(x)=a,x+b, em que x é o tempo em meses desde o início da gestão. Temos os dados l(x,L(x)r)=(3,80) e (12,179). Com isso, vamos (1) achar o coeficiente angular a, (2) determinar o coeficiente linear b, (3) calcular L(0) e (4) resolver L(x)=300.

Passo 2

O coeficiente angular a é dado por
a=L(12)-L(3)12-3=179-8012-3=999=11(km por mês) ê

Passo 3

Para achar b, usamos o ponto (3,80):
80 = acdot 3 + b Longrightarrow 80 = 11cdot 3 + b Longrightarrow b = 80 - 33 = 47
Logo a função é
L(x)=11,x + 47

Passo 4

No momento x=0 (posse do prefeito), o comprimento era
L(0)=11cdot 0 + 47 = 47km

Passo 5

Para L(x)=300, resolvemos
11,x + 47 = 300 Longrightarrow 11,x = 253 Longrightarrow x = 25311 = 23meses

Resposta

(a) L(x)=11x+47.
(b) 47 km.
(c) 23 meses.

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