Descreva o comportamento da função polinomial nos extremos do domínio usando \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x).
f(x)=x^{3}-x^{4}+3 x^{2}-2 x+7

Passo 1

O enunciado pede para descrever o comportamento de
\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{4}+3x^{2}-2x+7
nos extremos do domínio, ou seja, calcular
\lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x).
O conteúdo principal aqui é o comportamento de polinômios no infinito, usando a regra do termo dominante.

Passo 2

Precisamos identificar o termo de maior grau em f(x).
O grau de f é 4 e o coeficiente desse termo é -1.
Portanto, o termo dominante é -x^{4}, que crescerá mais rápido em módulo do que os demais termos quando \lvert x\rvert for grande.

Passo 3

Para x\to+\infty, o termo -x^{4} domina toda a expressão, pois os outros termos são de ordem menor. Logo:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\bigl(-x^{4}\bigr) =-\infty

Passo 4

Para x\to-\infty, temos x^{4}\to+\infty (já que a quarta potência elimina o sinal de x) e o coeficiente é negativo. Assim, de novo o termo -x^{4} domina e leva o valor da função a -\infty. Logo:
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}\bigl(-x^{4}\bigr) =-\infty

Resposta

\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty

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