Se phi(x) infty quando x-infty, mostrar que log varphi(x) é de ordem de grandeza inferior a varphi(x), ao passo que eolxi á de ordern superior.

Passo 1

O enunciado diz que varphi(x)toinfty quando xtoinfty. Precisamos mostrar duas coisas em termos de notação de Landau:
1. logvarphi(x) é de ordem inferior a varphi(x), isto é,
logvarphi(x)=ol(varphi(x)r)
2. varphi(x) é de ordem superior a logvarphi(x), isto é,
varphi(x)=omegal(logvarphi(x)r)
O conteúdo envolve definição de pequena-o e cálculo de limites.

Passo 2

Recordando a definição de pequena-o: dizemos
f(x)=ol(g(x)r)quando limxtoinftyf(x)g(x)=0
Analogamente, f(x)=omega(g(x)) se e somente se g(x)=o(f(x)).

Passo 3

Vamos calcular o limite
limxtoinftylogvarphi(x)varphi(x)
Como varphi(x)toinfty, fazemos a mudança de variável t=varphi(x). Então ttoinfty e
limxtoinftylogvarphi(x)varphi(x) =limttoinftylog tt
Para avaliar limttoinftylog tt usamos L’Hôpital:
limttoinftylog tt =limttoinftyddt(log t)ddt(t) =limttoinfty1/t1 =limttoinfty1t =0

Passo 4

Como
limxtoinftylogvarphi(x)varphi(x)=0,
pela definição de pequena-o temos
logvarphi(x)=ol(varphi(x)r),
isto é, logvarphi(x) cresce mais lentamente que varphi(x).

Passo 5

Invertendo a fração, ainda que cuidado por zeros, obtemos
limxtoinftyvarphi(x)logvarphi(x) =infty,
o que significa, pela definição de omega,
varphi(x)=omegal(logvarphi(x)r)

Resposta

logvarphi(x)=ol(varphi(x)r) e varphi(x)=omegal(logvarphi(x)r).

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