Se
quando
, mostrar que
é de ordem de grandeza inferior a
, ao passo que eolxi á de ordern superior.
Passo 1
O enunciado diz que
quando
. Precisamos mostrar duas coisas em termos de notação de Landau:
.
é de ordem inferior a
, isto é,
O conteúdo envolve definição de pequena-o e cálculo de limites.
Passo 2
Recordando a definição de pequena-o: dizemos
Analogamente,
se e somente se
.
Passo 3
Vamos calcular o limite
Como
, fazemos a mudança de variável
. Então
e
Para avaliar
usamos L’Hôpital:
Passo 4
Como
pela definição de pequena-o temos
isto é,
cresce mais lentamente que
.
Passo 5
Invertendo a fração, ainda que cuidado por zeros, obtemos
o que significa, pela definição de
,