Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe o gráfico da função racional
O conteúdo é esboço de curvas: para isso vamos precisar de domínio, interceptos, assíntotas, estudo de monotonia (derivada primeira), estudo de concavidade (derivada segunda) e pontos notáveis (extremos e pontos de inflexão).
Passo 2
Domínio e interceptos
- O denominador
nunca zera em , logo o domínio é todo o conjunto dos reais. - Intercepto em
: resolvemos , o que dá . São os pontos e . - Intercepto em
: basta , então
ponto
.
Assíntota horizontal
Assíntota horizontal
logo temos a reta
como assíntota horizontal. Não há assíntota vertical.
Passo 3
Monotonia e extremo relativo
Calculamos a derivada
Calculamos a derivada
-
em . - Para
, (função decrescente); para , (função crescente).
Portanto emtemos um mínimo relativo (na verdade global), com valor .
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão
Derivando de novo
Derivando de novo
-
quando , ou seja em . - Para
, (concavidade voltada para cima); para , (concavidade para baixo).
Os pontos de inflexão estão em
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico
-
A curva tende a
quando , sempre por baixo de . -
Ela cruza o eixo
em e . -
Tem mínimo em
. -
Pontos de inflexão em
. -
É decrescente de
até , e crescente de até .
Com base nisso, o esboço é algo como:y \uparrow . . . . assíntota \(y=1\) | .\text{’} | .\text{’} | .\text{’} | .\text{’} \(1+\)----\text{’}------------------------\(\to\) x | .\text{’} .\((3,0)\) | / / | / .\text{’} |/ .\text{’} \(0+\)/-----------.\text{’}---------- | .\text{’} | .\text{’} -\(6,5\)\bullet .\text{’} \((-{1}/{\sqrt{3}},-6,5)\) | / | / -\(9+\) .\text{’} \((0,-9)\) |/ \(+\)---------------------------- -\(303\)
Resposta
O gráfico de
tem:
(a) domínio ;
(b) interceptos em ,
e
;
(c) assíntota horizontal ;
(d) mínimo global em ;
(e) pontos de inflexão em ;
(f) decrescente para e crescente para
, com concavidade trocando em
.
(a) domínio
(b) interceptos em
(c) assíntota horizontal
(d) mínimo global em
(e) pontos de inflexão em
(f) decrescente para