Desenhe a curva da função dada.
f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe o gráfico da função racional
f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}+1}.
O conteúdo é esboço de curvas: para isso vamos precisar de domínio, interceptos, assíntotas, estudo de monotonia (derivada primeira), estudo de concavidade (derivada segunda) e pontos notáveis (extremos e pontos de inflexão).

Passo 2

Domínio e interceptos
  • O denominador x^{2}+1 nunca zera em \mathbb{R}, logo o domínio é todo o conjunto dos reais.
  • Intercepto em x: resolvemos x^{2}-9=0, o que dá x=\pm3. São os pontos (3,0) e (-3,0).
  • Intercepto em y: basta x=0, então
f(0)=\frac{0-9}{0+1}=-9,
ponto (0,-9).
Assíntota horizontal
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-9}{x^{2}+1}=1,
logo temos a reta y=1 como assíntota horizontal. Não há assíntota vertical.

Passo 3

Monotonia e extremo relativo
Calculamos a derivada
f'(x) =\frac{(2x)(x^{2}+1)-(x^{2}-9)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{20x}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • f'(x)=0 em x=0.
  • Para x<0, f'(x)<0 (função decrescente); para x>0, f'(x)>0 (função crescente).
    Portanto em x=0 temos um mínimo relativo (na verdade global), com valor f(0)=-9.

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão
Derivando de novo
f''(x) =20\,\frac{1-3x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}.
  • f''(x)=0 quando 1-3x^{2}=0, ou seja em x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Para \lvert x\rvert<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, f''(x)>0 (concavidade voltada para cima); para \lvert x\rvert>\tfrac{1}{\sqrt{3}}, f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    Os pontos de inflexão estão em
x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\quad f\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\frac{\tfrac{1}{3}-9}{\tfrac{1}{3}+1} =-\frac{26/3}{4/3}=-\tfrac{13}{2}.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico
  • A curva tende a y=1 quando x\to\pm\infty, sempre por baixo de y=1.
  • Ela cruza o eixo x em (-3,0) e (3,0).
  • Tem mínimo em (0,-9).
  • Pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},-6{,}5\bigr).
  • É decrescente de -\infty até x=0, e crescente de 0 até +\infty.
    Com base nisso, o esboço é algo como:
         y  
         \uparrow             . . . . assíntota \(y=1\)  
         |           .\text{’}  
         |         .\text{’}  
         |       .\text{’}  
         |     .\text{’}  
       \(1+\)----\text{’}------------------------\(\to\) x  
         |   .\text{’}               .\((3,0)\)  
         |  /                /  
         | /               .\text{’}  
         |/             .\text{’}  
     \(0+\)/-----------.\text{’}----------  
         |        .\text{’}  
         |      .\text{’}  
      -\(6,5\)\bullet   .\text{’}   \((-{1}/{\sqrt{3}},-6,5)\)  
         |    /  
         |   /  
    -\(9+\) .\text{’} \((0,-9)\)  
         |/  
         \(+\)----------------------------  
        -\(303\)

Resposta

O gráfico de f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}+1} tem:
(a) domínio \mathbb{R};
(b) interceptos em (-3,0), (3,0) e (0,-9);
(c) assíntota horizontal y=1;
(d) mínimo global em (0,-9);
(e) pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},-6{,}5\bigr);
(f) decrescente para x<0 e crescente para x>0, com concavidade trocando em \pm1/\sqrt{3}.

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