Desenhe a curva da função dada. f(x)=x-\frac{1}{x}
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva da função
f(x)=x-\frac{1}{x}
O conteúdo aqui é estudo de curva através de domínio, assíntotas, monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Determinar domínio e assíntotas.
O domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}, pois x=0 anula o denominador.
Vertical: como \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty e \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty, há assíntota vertical em
logo f é estritamente crescente em cada ramo (-\infty,0) e (0,\infty). Não há extremos locais.
Passo 4
Concavidade:
f''(x)=-\frac{2}{x^3}.
Se x>0, então f''(x)<0 e o ramo em (0,\infty) é côncavo para baixo.
Se x<0, então f''(x)>0 e o ramo em (-\infty,0) é côncavo para cima.
Passo 5
Comportamento nas fronteiras:
– \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty e \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty.
– \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-x\bigr]=0, confirmando a assíntota y=x.
Passo 6
Síntese para o esboço: \bullet Dois ramos separados pela reta x=0. \bullet Em (-\infty,0): cresce de (-\infty,-\infty) a (0,+\infty), côncavo para cima, aproximando-se de y=x quando x\to-\infty. \bullet Em (0,\infty): cresce de (0,-\infty) a (+\infty,+\infty), côncavo para baixo, aproximando-se de y=x quando x\to+\infty. \bullet Assíntotas: vertical x=0, oblíqua y=x.
Resposta
A curva de f(x)=x-\frac1x tem dois ramos em (-\infty,0) e (0,\infty), é crescente em cada ramo, possui assíntota vertical em x=0 e assíntota oblíqua y=x; o ramo à esquerda é côncavo para cima e o ramo à direita é côncavo para baixo.
Cálculo - Laurence Hoffmann e Gerald Bradley - Um Curso Moderno e Suas Aplicações - 11ª Edição - Capítulo 3.3 - Ex. 25