Usando o binômio de Newton, determine a aproximação, a menos de um centésimo, de (1,003)^20.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, com erro menor que um centésimo, o valor de (1,003)^20 usando o binômio de Newton. O conteúdo que vamos usar é a expansão de (1+x)^n em série de potências, truncando após termos suficientemente pequenos para garantir o erro desejado.

Passo 2

Identificamos na forma padrão do binômio de Newton:
(1+x)^n = sumk=0^n binomnk x^k
Aqui temos n=20 e x = 0,003. Vamos expandir até o termo cujo valor seja desprezível perante 0,01.

Passo 3

Escrevendo os primeiros termos da expansão:
(1+0,003)^20 = 1 + binom201(0,003) + binom202(0,003)^2 + binom203(0,003)^3 + binom204(0,003)^4 +cdots

Passo 4

Calculamos cada termo relevante:
binom201(0,003) =20cdot0,003 =0,060
binom202(0,003)^2 =20cdot192cdot(0,003)^2 =190cdot9times10^-6 =0,00171
binom203(0,003)^3 =20cdot19cdot186cdot(0,003)^3 =1140cdot27times10^-9 approx0,00003078
binom204(0,003)^4 approx4845cdot81times10^-12 approx0,00000039,
que já é muito menor que 0,01 e pode ser desprezado para a precisão exigida.

Passo 5

Somando os termos até a potência cúbica:
(1,003)^20 approx 1 + 0,060 + 0,00171 + 0,00003078 =1,06174078
Arredondando para a centésima mais próxima, obtemos 1,06, com erro muito inferior a 0,01.

Resposta

1,06

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