Desenvolver no intervalo ( 0, \pi ), em série de cossenos de arcos múltiplos, as funções:
f(x)=x \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede que a gente expanda, no intervalo (0,\pi), a função
f(x)=x\sin x
numa série de cossenos de múltiplos de x, ou seja, numa série da forma
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx),
onde
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx.
Para resolver, vamos (i) calcular a_{0}, (ii) calcular a_{1} separadamente e (iii) achar uma expressão geral para a_{n} com n\ge2.

Passo 2

Calcular a_{0}.
a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx.
Use integração por partes em \int x\sin x\,dx:
\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx =\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_{0}^{\pi} =(-\pi\cos\pi+0)-0 =\pi.
Logo
a_{0}=\frac{2}{\pi}\cdot\pi=2,
e a parte constante da série é \tfrac{a_{0}}{2}=1.

Passo 3

Calcular a_{1}.
a_{1}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos x\,dx =\frac{2}{\pi}\;\frac12\int_{0}^{\pi}x\sin(2x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(2x)\,dx.
De novo por partes em \int x\sin(2x)\,dx obtém-se \int_{0}^{\pi}x\sin(2x)\,dx=-\tfrac{\pi}{2}. Então
a_{1} =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi}{2}\Bigr) =-\frac12.

Passo 4

Calcular a_{n} para n\ge2. Definindo
I_{n}=\int_{0}^{\pi}x\sin x\cos(nx)\,dx,
fazendo integração por partes e usando \int_{0}^{\pi}x\sin(kx)\,dx=-\pi(-1)^{k}/k, chega-se ao resultado fechado
I_{n} =\frac{\pi(-1)^{\,n+1}}{n^{2}-1}.
Logo, para n\ge2,
a_{n} =\frac{2}{\pi}\,I_{n} =\frac{2}{\pi}\;\frac{\pi(-1)^{\,n+1}}{n^{2}-1} =\frac{2(-1)^{\,n+1}}{n^{2}-1}.

Passo 5

Reunindo tudo, a expansão em série de cossenos é
x\sin x =1 +\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx) =1 -\tfrac12\cos x +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^{\,n+1}}{n^{2}-1}\,\cos(nx).

Resposta

\boxed{ x\sin x =1 -\frac12\cos x +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^{\,n+1}}{n^{2}-1}\,\cos(nx) \quad\text{no intervalo }(0,\pi). }

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