Desenvolver no intervalo (
), em série de cossenos de arcos múltiplos, as funções:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente expanda, no intervalo
, a função
numa série de cossenos de múltiplos de
, ou seja, numa série da forma
onde
Para resolver, vamos (i) calcular
, (ii) calcular
separadamente e (iii) achar uma expressão geral para
com
.
Passo 2
Calcular
.
Use integração por partes em
:
Logo
e a parte constante da série é
.
Passo 3
Calcular
.
De novo por partes em
obtém-se
. Então
Passo 4
Calcular
para
. Definindo
fazendo integração por partes e usando
, chega-se ao resultado fechado
Logo, para
,
Passo 5
Reunindo tudo, a expansão em série de cossenos é