Prove que:
|ccc a+x & b+x & c+x a+y & b+y & c+y a^2 & b^2 & c^2 |=(b-c)(c-a)(a-b)(x-y)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante
De<a=|ccc a+x & b+x & c+x [0.3em] a+y & b+y & c+y [0.3em] a^2 & b^2 & c^2 |
é igual a
(b-c)(c-a)(a-b)(x-y)
O conteúdo principal aqui é o cálculo de determinante usando operações elementares em linhas e a forma de Vandermonde. Vamos subtrair linhas, fatorar e simplificar.]

Passo 2

Aplicamos a operação de linha
L 2 \leftarrow L 2 - L 1. Como det muda zero vezes esta operação, fica
De<a =|ccc a+x & b+x & c+x [0.3em] (a+y)-(a+x) & (b+y)-(b+x) & (c+y)-(c+x) [0.3em] a^2 & b^2 & c^2 | =|ccc a+x & b+x & c+x [0.3em] y-x & y-x & y-x [0.3em] a^2 & b^2 & c^2 | ]

Passo 3

Na segunda linha todos os elementos são iguais a (y-x), então podemos fatorar esse escalar da linha 2:
De<a =(y-x), underbrace|ccc a+x & b+x & c+x [0.3em] 1 & 1 & 1 [0.3em] a^2 & b^2 & c^2 |D ]

Passo 4

Para calcular
D=|ccc a+x & b+x & c+x [0.3em] 1 & 1 & 1 [0.3em] a^2 & b^2 & c^2 |
expandimos pela segunda linha (linha do meio). Usando cofactores,
D =sumj=1^3(-1)^2+jcdot1cdot M2j =-M21+M22-M23,
once M2j é o menor obtido eliminando linha 2 e coluna j.]

Passo 5

Calculamos cada menor:
M21 =b+x & c+x[0.2em]b^2&c^2 =(b+x)c^2-(c+x)b^2 =(c-b)l(bc+x(b+c)r),
M22 =a+x & c+x[0.2em]a^2&c^2 =(c-a)l(ac+x(a+c)r),
M23 =a+x & b+x[0.2em]a^2&b^2 =(b-a)l(ab+x(a+b)r)
Logo
D=-(c-b)l(bc+x(b+c)r) +(c-a)l(ac+x(a+c)r) -(b-a)l(ab+x(a+b)r) ]

Passo 6

Separamos termos constantes e termos em x:
1. Termos constantes (sem x):
-(c-b),bc+(c-a),ac-(b-a),ab =-(a-b)(b-c)(c-a)
2. Termos com x:
- (c-b)(b+c)+(c-a)(a+c)-(b-a)(a+b)=0
Portanto
D=-(a-b)(b-c)(c-a)

Passo 7

Voltando a De<a, temos
De<a =(y-x),D =(y-x)l[-(a-b)(b-c)(c-a)r] =(x-y),(a-b)(b-c)(c-a)
Reescrevendo os fatores em ordem convencional,
De<a=(b-c)(c-a)(a-b)(x-y),
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

|ccc a+x & b+x & c+x a+y & b+y & c+y a^2 & b^2 & c^2 | =(b-c)(c-a)(a-b)(x-y)

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