Mostre que, se n é impar, os valores de binomnp para p=0,1,2, ldots, n vão crescendo, atingirão valor máximo para dois valores de p(p=n-12 e p=n+12) e em seguida vão decrescendo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando n é ímpar, a sequência
binomn0,,binomn1,dots,binomnn
é primeiro crescente, atinge valor máximo para dois índices consecutivos
tfracn-12 e tfracn+12 (que são inteiros pois n é ímpar)
e depois é decrescente. Vamos usar o quociente entre termos consecutivos
binomnp+1/binomnp para estudar essa monotonia.

Passo 2

Pela definição de coeficiente binomial, temos
binomnp =n!p!,(n-p)!,
logo
binomnp+1binomnp =n!(p+1)!,(n-p-1)! n!p!,(n-p)! =p!,(n-p)!(p+1)!,(n-p-1)! =n-pp+1

Passo 3

Analisamos o sinal de
Rp ;=;binomnp+1binomnp =n-pp+1
  1. Se p<tfracn-12, então n-p > p+1 Longrightarrow Rp>1, indicando que binomnp+1>binomnp (crescimento).
  2. Se p=tfracn-12, então n-p = p+1 Longrightarrow Rp=1, ou seja binomnp+1=binomnp.
  3. Se p>tfracn-12, então n-p < p+1 Longrightarrow Rp<1, indicando que binomnp+1<binomnp (decrescimento).

Passo 4

Como n é ímpar, tfracn-12 e tfracn+12 são inteiros consecutivos.
De p<tfracn-12 vem crescimento até p=tfracn-12, e como em seguida
binomnn+12=binomnn-12, esses dois índices dão o valor máximo,
depois disso a sequência decresce.

Resposta

Fica demonstrado que, para n ímpar, binomnp cresce enquanto
p<tfracn-12, estabiliza entre
p=tfracn-12 e p=tfracn+12 (valores máximos iguais)
e decresce para p>tfracn+12.

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