Mostre que, se
é impar, os valores de
para
vão crescendo, atingirão valor máximo para dois valores de
e
e em seguida vão decrescendo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando
é ímpar, a sequência
é primeiro crescente, atinge valor máximo para dois índices consecutivos
e
(que são inteiros pois
é ímpar)
e depois é decrescente. Vamos usar o quociente entre termos consecutivos
para estudar essa monotonia.
e depois é decrescente. Vamos usar o quociente entre termos consecutivos
Passo 2
Pela definição de coeficiente binomial, temos
logo
Passo 3
Analisamos o sinal de
- Se
, então indicando que (crescimento). - Se
, então ou seja . - Se
, então indicando que (decrescimento).
Passo 4
Como
é ímpar,
e
são inteiros consecutivos.
De vem crescimento até
, e como em seguida
, esses dois índices dão o valor máximo,
depois disso a sequência decresce.
De
depois disso a sequência decresce.
Resposta
Fica demonstrado que, para
ímpar,
cresce enquanto
, estabiliza entre
e
(valores máximos iguais)
e decresce para .
e decresce para