12.3.20 Uma esfera condutora de raio a é dividida em dois hemisférios separados eletricamente por uma fina barreira isolante em seu equador. O hemisfério superior é mantido em um potencial V_{0}, o hemisfério inferior, em -V_{0}.
(a) Mostre que o potencial eletrostático externo aos dois hemisférios é
V(r, \theta)=V_{0} \sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}(4 s+3) \frac{(2 s-1)!!}{(2 s+2)!!}\left(\frac{a}{r}\right)^{2 s+2} P_{2 s+1}(\cos \theta)
(b) Calcule a densidade de carga elétrica \sigma na superfície externa. Note que sua série diverge em \cos \theta= \pm 1, como você esperava da capacitância infinita desse sistema (espessura zero para a barreira isolante).
\text { RESP. } \begin{aligned} \sigma & =\varepsilon_{0} E_{n}=-\left.\varepsilon_{0} \frac{\partial V}{\partial r}\right|_{r=a} \\\ & =\varepsilon_{0} V_{0} \sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}(4 s+3) \frac{(2 s-1)!!}{(2 s)!!} P_{2 s+1}(\cos \theta) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera condutora de raio a dividida em dois hemisférios acoplados por isolante no equador, tal que o hemisfério superior fica a potencial V_{0} e o inferior a -V_{0}. Queremos determinar o potencial externo \,V(r,\theta)\, (solução da equação de Laplace com simetria azimutal) e, em seguida, a densidade de carga superficial \sigma na superfície externa r=a.

Passo 2

Para r>a, a solução geral de Laplace com simetria em \varphi é
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}A_{l}\,r^{-\,l-1}P_{l}(\cos\theta),
onde só aparecem termos em r^{-l-1} para garantir V\to0 quando r\to\infty.

Passo 3

Impondo o contorno na superfície r=a\), temos \[V(a,\theta)= \begin{cases} V_{0},&0\le\theta<\tfrac{\pi}{2},\\\\ -\,V_{0},&\tfrac{\pi}{2}<\theta\le\pi, \end{cases}
isto é, V(a,\theta)=V_{0}\,\mathrm{sign}(\cos\theta)\]. Para achar os coeficientes \(A_{l} usamos a ortogonalidade de Legendre:
A_{l}=\frac{2l+1}{2}\,a^{\,l+1} \int_{-1}^{1}\!f(u)\,P_{l}(u)\,du,
com f(u)=\mathrm{sign}(u).

Passo 4

Como f(u) é ímpar, só termos de ordem ímpar sobrevivem e
\int_{-1}^{1}\!f(u)\,P_{l}(u)\,du =2\int_{0}^{1}P_{l}(u)\,du,
que é zero para l=2s e, para l=2s+1, vale a fórmula padrão
\int_{0}^{1}P_{2s+1}(u)\,du =(-1)^{s}\,\frac{(2s-1)!!}{(2s+2)!!}\,.
Logo, para l=2s+1,
A_{2s+1} =(4s+3)(-1)^{s}\,\frac{(2s-1)!!}{(2s+2)!!}\;V_{0}\,a^{2s+2}.

Passo 5

Substituindo em V(r,\theta) e reindexando, obtemos a parte (a):
V(r,\theta) =V_{0}\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}(4s+3)\, \frac{(2s-1)!!}{(2s+2)!!}\, \biggl(\frac{a}{r}\biggr)^{2s+2} P_{2s+1}(\cos\theta).

Passo 6

Para a densidade de carga superficial usamos
\sigma=\varepsilon_{0}E_{n} =-\varepsilon_{0}\Bigl.\frac{\partial V}{\partial r}\Bigr|_{r=a}.
Diferenciando termo a termo em r e avaliando em r=a, nota-se que
-\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(\frac{1}{r^{2s+2}}\Bigr) =(2s+2)\,\frac{1}{a}\,\frac{1}{r^{2s+2}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{(2s+2)(2s-1)!!}{(2s+2)!!} =\frac{(2s-1)!!}{(2s)!!}.
Isso leva à parte (b):
\sigma(\theta) =\varepsilon_{0}V_{0} \sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}(4s+3)\, \frac{(2s-1)!!}{(2s)!!}\, P_{2s+1}(\cos\theta),
que de fato diverge em \cos\theta=\pm1, refletindo a capacitância infinita do sistema de barreira de espessura zero.

Resposta

(a)
V(r,\theta) =V_{0}\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}(4s+3)\, \frac{(2s-1)!!}{(2s+2)!!}\, \biggl(\frac{a}{r}\biggr)^{2s+2} P_{2s+1}(\cos\theta).
(b)
\sigma(\theta) =\varepsilon_{0}V_{0} \sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}(4s+3)\, \frac{(2s-1)!!}{(2s)!!}\, P_{2s+1}(\cos\theta).

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