12.3.20 Uma esfera condutora de raio a é dividida em dois hemisférios separados eletricamente por uma fina barreira isolante em seu equador. O hemisfério superior é mantido em um potencial V_{0}, o hemisfério inferior, em -V_{0}.
(a) Mostre que o potencial eletrostático externo aos dois hemisférios é
(b) Calcule a densidade de carga elétrica \sigma na superfície externa. Note que sua série diverge em \cos \theta= \pm 1, como você esperava da capacitância infinita desse sistema (espessura zero para a barreira isolante).
O enunciado trata de uma esfera condutora de raio a dividida em dois hemisférios acoplados por isolante no equador, tal que o hemisfério superior fica a potencial V_{0} e o inferior a -V_{0}. Queremos determinar o potencial externo \,V(r,\theta)\, (solução da equação de Laplace com simetria azimutal) e, em seguida, a densidade de carga superficial \sigma na superfície externa r=a.
Passo 2
Para r>a, a solução geral de Laplace com simetria em \varphi é