Determine alpha, beta e gamma de modo que a equação alpha x^2+y^2+beta x y+6 x+8 y+gamma=0 represente uma circunferência de raio 6 .

Solução

1^circ ) Vamos impor duas condições necessárias para que a equação represente circunferência:
A=B Rightarrow alpha=1
C=0 Rightarrow beta=0
2^circ ) Se r=6, temos:
r^2=D^2+E^2-4 A F4 A^2=36+64-4 gamma4=36 Rightarrow gamma=36+64-1444=-11

Passo 1

O enunciado pede os valores de alpha,beta,gamma tais que
alpha x^2+y^2+beta xy+6x+8y+gamma=0
seja uma circunferência de raio 6.
Para isso precisamos de duas condições de classificação de cônicas:
  1. Coeficientes de x^2 e y^2 iguais e
  2. Termo xy nulo.
    Depois, devemos colocar a expressão em forma canônica para extrair o raio.

Passo 2

Pela condição de que seja círculo, igualamos os coeficientes de x^2 e y^2 e anulamos o termo misto:
alpha = 1, beta = 0

Passo 3

Substituindo alpha=1 e beta=0, a equação fica
x^2+y^2+6x+8y+gamma=0
Agora completamos o quadrado em x e em y:
x^2+6x = (x+3)^2-9, y^2+8y = (y+4)^2-16
Logo,
(x+3)^2-9 ;+;(y+4)^2-16 ;+;gamma ;=;0
(x+3)^2+(y+4)^2 = 25 - gamma
Isso mostra que a circunferência tem raio ao quadrado
r^2 = 25 - gamma

Passo 4

Como queremos r=6, impomos
r^2=36 Longrightarrow 25-gamma = 36 Longrightarrow gamma = -11

Resposta

alpha = 1,;beta = 0,;gamma = -11.

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