Uma esfera está inscrita em um cilindro de 150 pi cm^2 de área total. Determine a área e o volume dessa esfera.

Passo 1

O enunciado dá a área total de um cilindro que contém uma esfera inscrita. Para um cilindro de raio R e altura H a área total é
Arm cil=2pi R H + 2pi R^2,
e, por a esfera estar inscrita, ela tangencia as bases, o que implica
H=2R
Vamos usar essa relação para determinar R.

Passo 2

Substituindo H=2R na expressão de Arm cil, temos
Arm cil =2pi Rcdot(2R)+2pi R^2 =4pi R^2+2pi R^2 =6pi R^2
O enunciado diz que Arm cil=150pi.

Passo 3

Igualando as expressões,
6pi R^2=150pi Longrightarrow R^2=25 Longrightarrow R=5 cm

Passo 4

A esfera inscrita tem raio R=5 cm. A área da superfície da esfera é dada por
Arm esf =4pi R^2 =4picdot25 =100pi cm^2

Passo 5

O volume da esfera é
Vrm esf =43pi R^3 =43picdot125 =5003pi cm^3

Resposta

Área da esfera: 100pi cm^2
Volume da esfera: 5003pi cm^3

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