Determine o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo retorretângulo de dimensões a, b, c.

Passo 1

O enunciado pede o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces de um paralelepípedo retorretângulo de arestas de comprimentos a, b e c.
Conteúdo: geometria no espaço e cálculo de volumes via tetraedros.

Passo 2

Colocamos o paralelepípedo centrado na origem do sistema de coordenadas, de modo que suas faces estejam nos planos x=pm a/2, y=pm b/2 e z=pm c/2.
Os pontos médios dessas faces são, portanto,
(pmtfraca2,0,0), (0,pmtfracb2,0), (0,0,pmtfracc2),
que são exatamente os seis vértices do octaedro.

Passo 3

Note que esse octaedro pode ser dividido em 8 tetraedros congruentes, cada um com vértice no centro O=(0,0,0) e base formada por três pontos médios de faces de sinais todos positivos ou todos negativos.
Tomemos, por exemplo, o tetraedro no primeiro octante com vértices
O, A=(tfraca2,0,0), B=(0,tfracb2,0), C=(0,0,tfracc2)
O volume de um tetraedro com vértices em O e vetores posição OA,OB,OC é
Vtetra = 16l|det[OA,OB,OC]r| =16|deta/2&0&00&b/2&00&0&c/2| =16cdotabc8 =abc48

Passo 4

Como há 8 tetraedros congruentes preenchendo todo o octaedro, o volume total é
Vocta = 8 ,Vtetra = 8cdotabc48 = abc6

Resposta

abc6

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