Determine o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo retorretângulo de dimensões
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces de um paralelepípedo retorretângulo de arestas de comprimentos
,
e
.
Conteúdo: geometria no espaço e cálculo de volumes via tetraedros.
Conteúdo: geometria no espaço e cálculo de volumes via tetraedros.
Passo 2
Colocamos o paralelepípedo centrado na origem do sistema de coordenadas, de modo que suas faces estejam nos planos
,
e
.
Os pontos médios dessas faces são, portanto,
Os pontos médios dessas faces são, portanto,
que são exatamente os seis vértices do octaedro.
Passo 3
Note que esse octaedro pode ser dividido em 8 tetraedros congruentes, cada um com vértice no centro
e base formada por três pontos médios de faces de sinais todos positivos ou todos negativos.
Tomemos, por exemplo, o tetraedro no primeiro octante com vértices
Tomemos, por exemplo, o tetraedro no primeiro octante com vértices
O volume de um tetraedro com vértices em
e vetores posição
é
Passo 4
Como há 8 tetraedros congruentes preenchendo todo o octaedro, o volume total é