Determine a altura de um cone, sabendo que o desenvolvimento de sua superfície lateral é um setor circular de 135^circ e raio igual a 10 cm .

Passo 1

O enunciado pede a altura de um cone sabendo que o desenvolvimento de sua superfície lateral é um setor circular de raio igual a 10 cm e ângulo central de 135^circ. O que vamos usar:
– A relação entre o comprimento do arco do setor e a circunferência da base do cone.
– O teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, pelo raio da base e pela geratriz (raio do setor).

Passo 2

O comprimento do arco do setor é
L = (raio do setor) times (ângulo em radianos) â
O ângulo em radianos é
theta = 135^circ times pi180^circ = 3pi4
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L = 10 times 3pi4 = 30pi4 = 15pi2 cm

Passo 3

Esse arco L vira a circunferência da base do cone, isto é,
2pi r = 15pi2
Daí o raio da base é
r = tfrac15pi22pi = 154 cm

Passo 4

Na seção do cone, a geratriz é s=10 cm, o raio da base é r=tfrac154 cm e a altura é h. Pelo teorema de Pitágoras:
h = raizs^2 - r^2 = raiz10^2 - l(154r)^2 = raiz100 - 22516 = raiz1600 - 22516 = raiz13754 = 5raiz554 cm

Resposta

A altura do cone é
h = 5raiz554 cmapprox 9,27 cm

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