Determine a altura relativa à base de um triângulo isósceles em função da base a e do raio do círculo inscrito
.
Passo 1
O enunciado pede a altura
relativa à base de um triângulo isósceles, em função da base
e do raio do círculo inscrito
. Para isso, vamos usar a relação entre área
, semiperímetro
e inradius
, isto é
e também o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, pela metade da base e pelo lado igual.
Passo 2
Seja
o comprimento dos lados iguais. A área do triângulo vale
e o semiperímetro é
Logo, da definição de inradius, temos
Passo 3
Pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que tem hipotenusa
, cateto
e cateto
, vale
Passo 4
Substituindo essa expressão de
em
ficamos com
Elevando ao quadrado e desenvolvendo:
Passo 5
Da última equação, desprezando a solução trivial
, isolamos
: