Determine a altura relativa à base de um triângulo isósceles em função da base a e do raio do círculo inscrito r.

Passo 1

O enunciado pede a altura h relativa à base de um triângulo isósceles, em função da base a e do raio do círculo inscrito r. Para isso, vamos usar a relação entre área T, semiperímetro p e inradius r, isto é
r=Tp,
e também o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, pela metade da base e pelo lado igual.

Passo 2

Seja s o comprimento dos lados iguais. A área do triângulo vale
T=a,h2
e o semiperímetro é
p=a+2s2
Logo, da definição de inradius, temos
r=Tp=tfraca,h2tfraca+2s2=a,ha+2s Longrightarrow h=r,(a+2s)a

Passo 3

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que tem hipotenusa s, cateto h e cateto tfraca2, vale
s=raiz,h^2+l(tfraca2r)^2,

Passo 4

Substituindo essa expressão de s em
h=r,(a+2s)a
ficamos com
a,(h-r)=2rraizh^2+a^24
Elevando ao quadrado e desenvolvendo:
a^2(h-r)^2=4r^2l(h^2+tfraca^24r) ;Longrightarrow; a^2h^2-2a^2rh+a^2r^2=4r^2h^2+r^2a^2 ;Longrightarrow; (a^2-4r^2)h^2-2a^2r,h=0

Passo 5

Da última equação, desprezando a solução trivial h=0, isolamos h:
h=2a^2ra^2-4r^2

Resposta

h=2a^2ra^2-4r^2

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