Os lados AB e AC de um triângulo ABC medem respectivamente a e 2a, sendo 45^circ o ângulo formado por eles. Calcule a medida da altura BD e o lado BC do triângulo, em função de a.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com AB=a, AC=2a e ang<= A=45^circ. Precisamos encontrar a medida da altura BD (de B a AC) e do lado BC, em função de a. Vamos usar a lei dos cossenos para BC e a área do triângulo para BD.

Passo 2

Aplicando a lei dos cossenos em triang<= ABC para encontrar BC, temos
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2cdot ABcdot ACcdot cos 45^circ
Substituindo AB=a, AC=2a e cos45^circ=tfracraiz22,
BC^2 = a^2 + (2a)^2 - 2cdot acdot 2acdot raiz22 = a^2 + 4a^2 - 2a^2raiz2 = a^2l(5 - 2raiz2r)

Passo 3

Extraindo a raiz quadrada,
BC = araiz5 - 2raiz2

Passo 4

Para a altura BD, usamos que a área do triângulo é dada por
Área = 12,ABcdot ACcdotsin45^circ Á
e também
Área = 12,ACcdot BD Á
Igualando as duas expressões,
12,acdot 2acdot raiz22 = 12,(2a),BD Longrightarrow a^2raiz22 = a,BD Longrightarrow BD = araiz22

Resposta

BD = dfracraiz22,a
BC = araiz5 - 2raiz2

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