Um octógono regular é formado cortando-se triângulos retângulos isósceles nos vértices de um quadrado. Se o lado do quadrado mede 1, quanto medem os catetos dos triângulos retirados?

Passo 1

O enunciado dá um quadrado de lado 1 e forma um octógono regular cortando em cada vértice um triângulo retângulo isósceles com catetos de comprimento x. O que precisamos é usar o fato de que todas as arestas do octógono têm o mesmo comprimento para relacionar x com 1.

Passo 2

Cada aresta do octógono é ou
  1. o segmento central que sobra no lado do quadrado após tirar dois catetos, de comprimento
s = 1 - 2x,
ou
2. a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de catetos x, de comprimento
s = xraiz2

Passo 3

Como o octógono é regular, esses comprimentos são iguais. Logo,
1 - 2x = xraiz2 Longrightarrow (raiz2+2),x = 1

Passo 4

Daí
x = 1raiz2+2
e, racionalizando o denominador,
x = 2-raiz22

Resposta

O comprimento de cada cateto retirado é 2-raiz22

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