Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média multiplicada por raiz3.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a diagonal e a altura de um trapézio isósceles sabendo que a altura h satisfaz
h = mraiz3,
onde m é a base média do trapézio. Vamos usar geometria analítica e produto escalar para encontrar esse ângulo.

Passo 2

Colocamos o trapézio em um plano cartesiano com a base maior de comprimento B sobre o eixo x, centrada na origem, e a altura vertical subindo até a base menor de comprimento b. A base média fica
m = B + b2
e a altura é h.

Passo 3

Denotamos os vértices do trapézio de baixo para cima e da esquerda para a direita como
A = l(-tfracB2,0r), B = l(tfracB2,0r), C = l(tfracb2,hr), D = l(-tfracb2,hr)
Escolhemos a diagonal AC e a altura AE ao longo da vertical, com E sendo o pé da altura em A.

Passo 4

O vetor diagonal e o vetor altura são
AC = l(tfracb2-(-tfracB2),,h-0r) = (m,,h),
AE = (0,,h)

Passo 5

O ângulo alpha entre AC e AE satisfaz
cosalpha = ACcdotAE|AC|;|AE|
Aqui ACcdotAE=0cdot m + hcdot h = h^2,
|AC|=raizm^2+h^2 e |AE|=h. Logo
cosalpha = h^2h,raizm^2+h^2 = hraizm^2+h^2 = 1raiz1+(m/h)^2

Passo 6

Pela condição h = mraiz3 temos m/h = 1/raiz3. Substituindo,
cosalpha = 1raiz1 + tfrac13 = 1raiztfrac43 = raiz32,
portanto
alpha = 30^circ

Resposta

30^circ

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