Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média multiplicada por .
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre a diagonal e a altura de um trapézio isósceles sabendo que a altura satisfaz
onde é a base média do trapézio. Vamos usar geometria analítica e produto escalar para encontrar esse ângulo.
Passo 2
Colocamos o trapézio em um plano cartesiano com a base maior de comprimento sobre o eixo , centrada na origem, e a altura vertical subindo até a base menor de comprimento . A base média fica
e a altura é .
Passo 3
Denotamos os vértices do trapézio de baixo para cima e da esquerda para a direita como
Escolhemos a diagonal e a altura ao longo da vertical, com sendo o pé da altura em .
Passo 4
O vetor diagonal e o vetor altura são
AE = (0,,h)
Passo 5
O ângulo alpha entre AC e AE satisfaz
cosalpha = ACcdotAE|AC|;|AE|
Aqui ACcdotAE=0cdot m + hcdot h = h^2, |AC|=raizm^2+h^2 e |AE|=h. Logo