Determine a distância entre os pés da altura e da mediana relativas à hipotenusa de um triângulo retângulo de de perímetro, sabendo que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são diretamente proporcionais aos números 1 e 3.
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo retângulo em que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são proporcionais a 1 e 3. Sabemos que a projeção de um cateto sobre a hipotenusa é dado por , e que a altura relativa à hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa têm seus pés sobre . Precisaremos usar as relações de projeções em triângulo retângulo e a fórmula do perímetro para encontrar , depois calcular a distância entre o pé da altura e o pé da mediana.
Passo 2
Sejam e as projeções de e sobre . Pelo enunciado temos
e como , segue
Mas também e . Logo,
Passo 3
O perímetro é , que deve valer . Substituindo e :
Assim,
Portanto e .
Passo 4
O pé da altura na hipotenusa divide em . A mediana relativa à hipotenusa atinge o ponto médio de , a uma distância de uma extremidade. A distância entre esses dois pontos sobre é
Resposta
A distância é 3 metros.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 584