Determine a distância entre os pés da altura e da mediana relativas à hipotenusa de um triângulo retângulo de (18+6 raiz3) m de perímetro, sabendo que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são diretamente proporcionais aos números 1 e 3.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo retângulo em que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são proporcionais a 1 e 3. Sabemos que a projeção de um cateto a sobre a hipotenusa c é dado por tfraca^2c, e que a altura relativa à hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa têm seus pés sobre c. Precisaremos usar as relações de projeções em triângulo retângulo e a fórmula do perímetro para encontrar c, depois calcular a distância entre o pé da altura e o pé da mediana.

Passo 2

Sejam p e q as projeções de a e b sobre c. Pelo enunciado temos
p : q = 1 : 3,
e como p+q = c, segue
p = c4, q = 3c4
Mas também p = a^2c e q = b^2c. Logo,
a^2 = p,c = c^24Longrightarrow a = c2,
b^2 = q,c = 3c^24Longrightarrow b = raiz3,c2

Passo 3

O perímetro é a+b+c, que deve valer 18 + 6raiz3. Substituindo a e b:
c2 + raiz3,c2 + c = cgl(12+raiz32+1gr) = c,(3+raiz3)2 = 18 + 6raiz3
Assim,
c = 2,(18 + 6raiz3)3+raiz3 = 12
Portanto a = tfrac122=6 e b = tfracraiz3cdot122=6raiz3.

Passo 4

O pé da altura na hipotenusa divide c em p = tfraca^2c = tfrac6^212 = 3. A mediana relativa à hipotenusa atinge o ponto médio de c, a uma distância tfracc2=6 de uma extremidade. A distância entre esses dois pontos sobre c é
l|6 - 3r| = 3

Resposta

A distância é 3 metros.

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