Determine o ângulo do vértice de um cone, sabendo que a razão entre a superfície da esfera inscrita e a área total do cone é igual a 49.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo do vértice (digamos alpha) de um cone tal que a razão entre a superfície de sua esfera inscrita e a área total do cone seja tfrac49.
Conteúdo: geometria de cone e esfera inscrita, cálculo de áreas e uso de relações trigonométricas para expressar tudo em função do ângulo do vértice.

Passo 2

Seja R o raio da base do cone, h sua altura e l=raizR^2+h^2 a geratriz. A esfera inscrita tem raio
r=hRR+l,
pois seu centro fica à distância r da base e deve tocar lateral e base.

Passo 3

A área total do cone é
Arm cone=pi R^2+pi R,l
e a área da esfera é
Arm esfera=4pi r^2
A condição do enunciado é
Arm esferaArm cone =4pi r^2pi R^2+pi Rl =4r^2R(R+l) =49
Logo
r^2R(R+l)=19

Passo 4

Introduzimos o ângulo meia-vértice theta, tal que
tantheta=Rh, sectheta=lh
Assim
R=htantheta, l=hsectheta, r=hRR+l =h,(htantheta)h(tantheta+sectheta) =h,tanthetatantheta+sectheta
Substituindo em tfracr^2R(R+l)=tfrac19 e cancelando h^2, chega-se a
tantheta(tantheta+sectheta)^3=19

Passo 5

Escrevendo em termos de x=sintheta e usando tantheta=tfracxraiz1-x^2, sectheta=tfrac1raiz1-x^2, obtém-se a equação cúbica
10x^3+3x^2-6x+1=0
As raízes reais em (0,1) são
x=sintheta=12 ou x=sintheta=15

Passo 6

Como alpha=2theta, temos duas soluções viáveis:
  • Se sintheta=tfrac12, então theta=30^circ e alpha=60^circ.
  • Se sintheta=tfrac15, então thetaapprox11,54^circ e alphaapprox23,08^circ.

Resposta

As soluções para o ângulo do vértice são
alpha=60^circ ou alphaapprox23,1^circ

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