Determine o ângulo do vértice de um cone, sabendo que a razão entre a superfície da esfera inscrita e a área total do cone é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede o ângulo do vértice (digamos
) de um cone tal que a razão entre a superfície de sua esfera inscrita e a área total do cone seja
.
Conteúdo: geometria de cone e esfera inscrita, cálculo de áreas e uso de relações trigonométricas para expressar tudo em função do ângulo do vértice.
Conteúdo: geometria de cone e esfera inscrita, cálculo de áreas e uso de relações trigonométricas para expressar tudo em função do ângulo do vértice.
Passo 2
Seja
o raio da base do cone,
sua altura e
a geratriz. A esfera inscrita tem raio
pois seu centro fica à distância
da base e deve tocar lateral e base.
Passo 3
A área total do cone é
e a área da esfera é
A condição do enunciado é
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Passo 4
Introduzimos o ângulo meia-vértice
, tal que
Assim
Substituindo em
e cancelando
, chega-se a
Passo 5
Escrevendo em termos de
e usando
,
, obtém-se a equação cúbica
As raízes reais em
são
Passo 6
Como
, temos duas soluções viáveis:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Resposta
As soluções para o ângulo do vértice são