32 Determine a área de um dodecágono regular cujos vértices estão na circunferência unitária.

Passo 1

O enunciado pede a área de um dodecágono regular inscrito em circunferência de raio unitário. O conteúdo é geometria plana e trigonometria, e vamos usar a divisão do polígono em triângulos isósceles congruentes com vértice no centro do círculo.

Passo 2

Em um polígono regular de n lados inscrito em circunferência de raio R, cada triângulo isósceles central tem ângulo
\theta = \frac{2\pi}{n}.
Aqui n=12 e R=1, logo
\theta = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

A área de um desses triângulos isósceles é dada por
\mathrm{Área_{tri}} = \frac{1}{2}\,R^2\sin(\theta)Á
portanto
\mathrm{Área_{tri}} = \frac{1}{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).Á

Passo 4

Como \sin(\tfrac{\pi}{6}) = \tfrac{1}{2}, temos
\mathrm{Área_{tri}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.Á
Somando os 12 triângulos:
\mathrm{Área_{tot}} = 12 \times \frac{1}{4} = 3.Á

Resposta

A área do dodecágono regular inscrito na circunferência unitária é 3.

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