30 Determine as coordenadas de todos os doze vértices do dodecágono regular cujos vértices estão na circunferência unitária, com (1,0) como um dos vértices. Liste os vértices em ordem anti-horária começando em (1,0).

Passo 1

O enunciado pede os vértices de um dodecágono regular inscrito na circunferência de raio 1, começando em (1,0) e listando em ordem anti-horária. O conteúdo que vamos usar é a parametrização de vértices de um polígono regular pelo círculo unitário usando funções trigonométricas.

Passo 2

Em geral, um polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio R tem vértices dados por
\bigl(R\cos(2\pi k/n),\,R\sin(2\pi k/n)\bigr)
para k=0,1,\dots,n-1.

Passo 3

Aqui n=12 e R=1, então o ângulo central entre vértices consecutivos é
\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.
Logo os vértices são
\bigl(\cos(k\pi/6),\,\sin(k\pi/6)\bigr),
para k=0,1,\dots,11.

Passo 4

Bast a usar os valores exatos de \cos e \sin em múltiplos de \pi/6. Para k=0,1,\dots,11 obtemos, nesta ordem anti-horária começando em k=0:
(1,0),\quad \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\Bigr),\quad \Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad (0,1),\quad \Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad \Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\Bigr),
(-1,0),\quad \Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\Bigr),\quad \Bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad (0,-1),\quad \Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\Bigr).

Resposta

(1,0),\;(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12),\;(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}),\;(0,1),\;(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}),\;(-\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12),\;(-1,0),\;(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\;(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}),\;(0,-1),\;(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}),\;(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12)

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