36 Determine a área de um dodecágono regular com lados de comprimento s.

Passo 1

O enunciado pede a área de um dodecágono regular (ou seja, um polígono de n=12 lados iguais) de comprimento de cada lado igual a s. O conteúdo aqui é a fórmula da área de um polígono regular de n lados, que podemos obter dividindo-o em n triângulos isósceles ou usando a forma clássica
A = \frac{P \cdot a}{2},
onde P é o perímetro e a é o apótema.

Passo 2

Vamos usar a fórmula geral em função de n e do comprimento do lado s. Sabemos que o perímetro é
P = n\,s
e que o apótema vale
a = \frac{s}{2\tan\bigl(\frac{\pi}{n}\bigr)}.
Logo,
A = \frac{P \, a}{2} = \frac{n\,s}{2} \cdot \frac{s}{2\tan\bigl(\frac{\pi}{n}\bigr)} = \frac{n\,s^2}{4\tan\bigl(\frac{\pi}{n}\bigr)}.

Passo 3

Substituindo n=12 na fórmula acima, obtemos
A = \frac{12\,s^2}{4 \,\tan\bigl(\frac{\pi}{12}\bigr)} = \frac{3\,s^2}{\tan\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr)} = 3\,s^2\;\cot\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr).

Passo 4

Falta só avaliar \cot\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr). Como \tfrac{\pi}{12}=15^\circ, sabemos que
\cot\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr) = \cot(15^\circ) = 2 + \sqrt{3}.
Portanto
A = 3\,s^2\,(2 + \sqrt{3}).

Resposta

A = 3\,(2 + \sqrt{3})\,s^2.

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