Determine a área de um pentágono regular de lado ell.

Passo 1

O enunciado pede a área de um pentágono regular de lado A = 5 times l(área de um desses triângulosr) = 5 times ell ,a2 . Para resolver, vamos dividir o pentágono em 5 triângulos isósceles congruentes com vértice no centro. Cada triângulo tem base e altura igual ao apótema . A área do pentágono será então
áâ

Passo 2

O ângulo central de cada triângulo isósceles vale
2pi5
Se traçarmos o apótema, dividimos esse triângulo isósceles em dois triângulos retângulos cujos ângulos na base valem
12,2pi5 = pi5

Passo 3

Em um desses triângulos retângulos, a metade da base mede tan!l(tfracpi5r) = tfracell2a Longrightarrow a = ell2,tan!l(tfracpi5r) (cateto oposto ao ângulo ) e a altura é o apótema (cateto adjacente). Assim, pela definição de tangente,

Passo 4

Substituindo A = 5 times ell,a2, na expressão da área do pentágono, cuja área é
A = 5 times ell2times ell2,tan!l(tfracpi5r) = 5,ell^24,tan!l(tfracpi5r)
temos

Passo 5

Podemos reescrever usando cotangente, A = 5,ell^24,cot!l(tfracpi5r) ou A = 5,raiz5+2raiz54,ell^2 , e também a forma fechada de . Assim,

Resposta

A = 5,ell^24,tan!l(tfracpi5r) = 5,ell^24,cot!l(tfracpi5r) = 5,raiz5+2raiz54,ell^2