Determine a área de um pentágono regular de lado
.
Passo 1
O enunciado pede a área de um pentágono regular de lado
. Para resolver, vamos dividir o pentágono em 5 triângulos isósceles congruentes com vértice no centro. Cada triângulo tem base
e altura igual ao apótema
. A área do pentágono será então
Passo 2
O ângulo central de cada triângulo isósceles vale
Se traçarmos o apótema, dividimos esse triângulo isósceles em dois triângulos retângulos cujos ângulos na base valem
Passo 3
Em um desses triângulos retângulos, a metade da base mede
(cateto oposto ao ângulo
) e a altura é o apótema
(cateto adjacente). Assim, pela definição de tangente,
Passo 4
Substituindo
na expressão da área do pentágono, cuja área é
temos
Passo 5
Podemos reescrever usando cotangente,
, e também a forma fechada de
. Assim,