Determine a área de um pentágono regular de lado ell.

Passo 1

O enunciado pede a área de um pentágono regular de lado ell. Para resolver, vamos dividir o pentágono em 5 triângulos isósceles congruentes com vértice no centro. Cada triângulo tem base ell e altura igual ao apótema a. A área do pentágono será então
A = 5 times l(área de um desses triângulosr) = 5 times ell ,a2 áâ

Passo 2

O ângulo central de cada triângulo isósceles vale
2pi5
Se traçarmos o apótema, dividimos esse triângulo isósceles em dois triângulos retângulos cujos ângulos na base valem
12,2pi5 = pi5

Passo 3

Em um desses triângulos retângulos, a metade da base mede tfracell2 (cateto oposto ao ângulo tfracpi5) e a altura é o apótema a (cateto adjacente). Assim, pela definição de tangente,
tan!l(tfracpi5r) = tfracell2a Longrightarrow a = ell2,tan!l(tfracpi5r)

Passo 4

Substituindo a na expressão da área do pentágono, cuja área é
A = 5 times ell,a2,
temos
A = 5 times ell2times ell2,tan!l(tfracpi5r) = 5,ell^24,tan!l(tfracpi5r)

Passo 5

Podemos reescrever usando cotangente, cot x = 1/tan x, e também a forma fechada de cot(pi/5)=raiz5+2raiz5. Assim,
A = 5,ell^24,cot!l(tfracpi5r) ou A = 5,raiz5+2raiz54,ell^2

Resposta

A = 5,ell^24,tan!l(tfracpi5r) = 5,ell^24,cot!l(tfracpi5r) = 5,raiz5+2raiz54,ell^2

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