Determine a área de um quadrado cujo perímetro é igual ao perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio r2.

Passo 1

O enunciado pede a área de um quadrado cujo perímetro é igual ao perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio tfracr2. Vamos usar as propriedades de polígonos regulares (lado e perímetro) e a fórmula da área do quadrado.

Passo 2

Num hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio tfracr2, cada lado s é igual ao raio da circunferência. Logo,
s = r2
e o perímetro do hexágono é
Phex = 6,s = 6 cdot r2 = 3r

Passo 3

Chamando a o lado do quadrado, seu perímetro deve ser igual a Phex. Assim,
4a = 3r
logo
a = 3r4

Passo 4

A área A do quadrado é dada por a^2. Substituindo o valor de a, temos
A = (3r4)^2 = 9r^216

Resposta

9r^216

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