Determine a área de um quadrado inscrito num círculo em função da diagonal menor
de um dodecágono regular inscrito no mesmo círculo.
Passo 1
Temos um círculo de raio
no qual estão inscritos um quadrado e um dodecágono regular. A “diagonal menor”
do dodecágono é o comprimento da corda que une dois vértices com separação de dois passos (isto é, ângulo central de
). Vamos achar primeiro a relação entre
e
, e então usar a fórmula da área do quadrado inscrito.
Passo 2
O comprimento de uma corda que subtende ângulo central
num círculo de raio
é
Aqui
, logo
Como
, na verdade basta notar também que
Passo 3
Logo
Passo 4
Num quadrado inscrito, a sua diagonal vale o diâmetro do círculo, isto é,
Como a diagonal de um quadrado de lado
é
, temos
A área do quadrado é
Passo 5
Substituindo
em
dá