Determine a área de um quadrado inscrito num círculo em função da diagonal menor d de um dodecágono regular inscrito no mesmo círculo.

Passo 1

Temos um círculo de raio R no qual estão inscritos um quadrado e um dodecágono regular. A “diagonal menor” d do dodecágono é o comprimento da corda que une dois vértices com separação de dois passos (isto é, ângulo central de tfrac2pi12=tfracpi6). Vamos achar primeiro a relação entre d e R, e então usar a fórmula da área do quadrado inscrito.

Passo 2

O comprimento de uma corda que subtende ângulo central theta num círculo de raio R é
d = 2Rsin!l(tfractheta2r)
Aqui theta=tfracpi6, logo
d = 2Rsin!l(tfracpi12r)
Como sin!l(tfracpi12r)=sin15^circ=tfrac12, na verdade basta notar também que
d = 2Rsin!l(tfracpi6r) = 2Rcdottfrac12 = R

Passo 3

Logo
R = d

Passo 4

Num quadrado inscrito, a sua diagonal vale o diâmetro do círculo, isto é,
diagonal do quadrado = 2R
Como a diagonal de um quadrado de lado s é sraiz2, temos
sraiz2 = 2R Longrightarrow s = 2Rraiz2 = Rraiz2
A área do quadrado é
A = s^2 = (Rraiz2)^2 = 2R^2

Passo 5

Substituindo R=d em A=2R^2
A = 2d^2

Resposta

A = 2d^2

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