Determine a área do quadrilátero formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de um paralelogramo ABCD , sabendo que os lados e BC medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm e que um de seus ângulos mede 120^circ.
Passo 1
O enunciado pede a área do quadrilátero interno que se obtém ao traçar, em cada vértice de um paralelogramo ABCD, a bissetriz do ângulo interno. Sabemos que AB=8, BC=10 e ang<= A=120^circ. Para resolver, vamos usar coordenadas planas para posicionar A,B,C,D, determinar as direções das bissetrizes como soma de vetores unitários e, a seguir, achar os pontos de interseção adjacentes. Por fim, calculamos a área desse quadrilátero por fórmulas de geometria analítica (fórmula de Gauss).
Passo 2
Posicionamos
A=(0,0), B=(8,0),
e como ang<= A=120^circ e AD=10, escolhemos
D=l(10cos120^circ,;10sin120^circr)=(-5,5raiz3),
de onde
C=B+D-A=(8,0)+(-5,5raiz3)=(3,5raiz3)
Passo 3
Em cada vértice, a direção da bissetriz interna é soma dos vetores unitários ao longo dos dois lados que formam o ângulo. Por exemplo, em A os vetores unitários são