Determine a área do quadrilátero formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de um paralelogramo ABCD , sabendo que os lados AB e BC medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm e que um de seus ângulos mede 120^circ.

Passo 1

O enunciado pede a área do quadrilátero interno que se obtém ao traçar, em cada vértice de um paralelogramo ABCD, a bissetriz do ângulo interno. Sabemos que AB=8, BC=10 e ang<= A=120^circ. Para resolver, vamos usar coordenadas planas para posicionar A,B,C,D, determinar as direções das bissetrizes como soma de vetores unitários e, a seguir, achar os pontos de interseção adjacentes. Por fim, calculamos a área desse quadrilátero por fórmulas de geometria analítica (fórmula de Gauss).

Passo 2

Posicionamos
A=(0,0), B=(8,0),
e como ang<= A=120^circ e AD=10, escolhemos
D=l(10cos120^circ,;10sin120^circr)=(-5,5raiz3),
de onde
C=B+D-A=(8,0)+(-5,5raiz3)=(3,5raiz3)

Passo 3

Em cada vértice, a direção da bissetriz interna é soma dos vetores unitários ao longo dos dois lados que formam o ângulo. Por exemplo, em A os vetores unitários são
vec uAB=(1,0), vec uAD=(-5,5raiz3)10=(-tfrac12,tfracraiz32),
logo a direção da bissetriz em A é
vec dA=vec uAB+vec uAD=l(tfrac12,tfracraiz32r)
Analogamente, definimos as retas bissetrizes LA,LB,LC,LD em A,B,C,D usando as somas de vetores unitários nos respectivos vértices.

Passo 4

Calculamos as interseções consecutivas:
P=LAcap LB
Q=LBcap LC
R=LCcap LD
S=LDcap LA.
O resultado, em coordenadas, é
P=(2,2raiz3), Q=l(tfrac12,tfrac5raiz32r), R=(1,3raiz3), S=l(tfrac52,tfrac5raiz32r)

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Gauss (shoelace) na ordem Pto Qto Rto Sto P. Em notação simplificada,
Área =12l|sumi=1^4xi,yi+1-yi,xi+1r| =12l|14raiz3-16raiz3r| =raiz3 Á

Resposta

raiz3,cm^{2}

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