Determine a área de um retângulo cuja base e altura são respectivamente o lado e o apótema de um pentágono inscrito em uma circunferência de raio
.
Passo 1
O enunciado pede a área de um retângulo cuja base é o lado de um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio
e cuja altura é o apótema desse mesmo pentágono. O conteúdo envolve trigonometria em polígonos regulares: vamos precisar da relação entre lado, apótema e raio em um pentágono inscrito.
Passo 2
Para achar o lado do pentágono, considere o triângulo isósceles formado por dois raios e um lado. O ângulo central correspondente a cada lado vale
. Metade desse triângulo tem cateto oposto de comprimento
, logo
onde
é o comprimento do lado.
Passo 3
O apótema
é a distância do centro ao ponto médio de um lado, ou seja, o cateto adjacente naquele mesmo triângulo meio-isósceles. Assim
Passo 4
A área do retângulo é base vezes altura, isto é,
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos