Determine a área de um retângulo cuja base e altura são respectivamente o lado e o apótema de um pentágono inscrito em uma circunferência de raio r.

Passo 1

O enunciado pede a área de um retângulo cuja base é o lado de um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio r e cuja altura é o apótema desse mesmo pentágono. O conteúdo envolve trigonometria em polígonos regulares: vamos precisar da relação entre lado, apótema e raio em um pentágono inscrito.

Passo 2

Para achar o lado do pentágono, considere o triângulo isósceles formado por dois raios e um lado. O ângulo central correspondente a cada lado vale tfrac2pi5. Metade desse triângulo tem cateto oposto de comprimento rsinl(tfracpi5r), logo
s = 2,rsin!l(tfracpi5r),
onde s é o comprimento do lado.

Passo 3

O apótema a é a distância do centro ao ponto médio de um lado, ou seja, o cateto adjacente naquele mesmo triângulo meio-isósceles. Assim
a = rcos!l(tfracpi5r)

Passo 4

A área do retângulo é base vezes altura, isto é,
A = s cdot a = l(2rsin(tfracpi5)r)l(rcos(tfracpi5)r) = 2r^2sin!l(tfracpi5r)cos!l(tfracpi5r)
Usando a identidade trigonométrica 2sinthetacostheta = sin(2theta), obtemos
A = r^2sin!l(tfrac2pi5r)

Resposta

A = r^2sin!l(tfrac2pi5r)

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