Sobre cada lado de um hexágono regular e externamente a este constrói-se um quadrado. Unindo-se os vértices dos quadrados de modo a obter um dodecágono regular, determine a área desse dodecágono em função do lado do hexágono que está inscrito em um círculo de raio R.

Passo 1

O enunciado descreve um hexágono regular inscrito num círculo de raio R. Como num hexágono regular inscrito em círculo vale que o lado é igual ao raio, chamamos esse lado de R. Em cada lado desse hexágono construímos, externamente, um quadrado. Os vértices externos desses quadrados formam, por simetria, um dodecágono regular. Nosso objetivo é achar a área desse dodecágono em função de R. Para isso vamos:
1. Modelar os vértices do hexágono e de um dos quadrados por números complexos;
2. Determinar o raio do círculo circunscrito ao dodecágono;
3. Aplicar a fórmula da área de polígono regular em função do circunraio.

Passo 2

Seja no plano complexo o centro do hexágono na origem e seus v’ertices
Ak = R e^i kpi/3, k=0,1,dots,5
Considere a aresta A0A1. Temos
A0 = R, A1 = R e^ipi/3, v = A1 - A0 = Rl(e^ipi/3-1r)
Para construir o quadrado externamente, rotacionamos v em -90^circ, i.e.\ multiplicamos por -i. Ent~ao o v’ertice externo adjacente a A0 'e
P0 = A0 + (-i),v = R + l(-ir),Rl(e^ipi/3-1r)

Passo 3

Vamos calcular o módulo de P0. Escrevendo
(-i)l(e^ipi/3-1r) = e^ipi/6
(pois gira em -90^circ e alinha no bissetor externo), obtemos
P0 = Rl(1 + e^ipi/6r) Longrightarrow |P0| = Rl|1 + e^ipi/6r| = Rraiz2 + 2cos!tfracpi6 = Rraiz2 + raiz3
Por simetria, todos os vértices externos dos quadrados estão à mesma distância do centro. Assim o circunraio do dodecágono vale
Rd = Rraiz2 + raiz3

Passo 4

Também por simetria e pelos argumentos dos somatórios 1+e^ipi/6, os novos vértices ficam nos ângulos
15^circ,,45^circ,,75^circ,dots,,345^circ,
ou seja, uniformemente espaçados de 30^circ. Logo formam um dodecágono regular de vértices em |z|=Rd.

Passo 5

A área de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio Rd é
A = n2,Rd^2,sin!l(2pinr)
Para n=12 temos sinl(2pi/12r)=sin(pi/6)=tfrac12, então
A = 122,Rd^2,12 = 3,Rd^2

Resposta

Substituindo Rd = Rraiz2 + raiz3 segue
boxedA = 3,R^2,(2 + raiz3)

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