Sobre cada lado de um hexágono regular e externamente a este constrói-se um quadrado. Unindo-se os vértices dos quadrados de modo a obter um dodecágono regular, determine a área desse dodecágono em função do lado do hexágono que está inscrito em um círculo de raio .
Passo 1
O enunciado descreve um hexágono regular inscrito num círculo de raio . Como num hexágono regular inscrito em círculo vale que o lado é igual ao raio, chamamos esse lado de . Em cada lado desse hexágono construímos, externamente, um quadrado. Os vértices externos desses quadrados formam, por simetria, um dodecágono regular. Nosso objetivo é achar a área desse dodecágono em função de . Para isso vamos: . Modelar os vértices do hexágono e de um dos quadrados por números complexos; . Determinar o raio do círculo circunscrito ao dodecágono; . Aplicar a fórmula da área de polígono regular em função do circunraio.
Passo 2
Seja no plano complexo o centro do hexágono na origem e seus v’ertices
Considere a aresta . Temos
Para construir o quadrado externamente, rotacionamos em , i.e.\ multiplicamos por . Ent~ao o v’ertice externo adjacente a 'e
Passo 3
Vamos calcular o módulo de . Escrevendo
(pois gira em e alinha no bissetor externo), obtemos
Por simetria, todos os vértices externos dos quadrados estão à mesma distância do centro. Assim o circunraio do dodecágono vale
Rd = Rraiz2 + raiz3
Passo 4
Também por simetria e pelos argumentos dos somatórios 1+e^ipi/6, os novos vértices ficam nos ângulos
15^circ,,45^circ,,75^circ,dots,,345^circ,
ou seja, uniformemente espaçados de 30^circ. Logo formam um dodecágono regular de vértices em |z|=Rd.
Passo 5
A área de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio Rd é
A = n2,Rd^2,sin!l(2pinr)
Para n=12 temos sinl(2pi/12r)=sin(pi/6)=tfrac12, então
A = 122,Rd^2,12 = 3,Rd^2
Resposta
Substituindo Rd = Rraiz2 + raiz3 segue
boxedA = 3,R^2,(2 + raiz3)
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 19.Exercícios - Ex. 978