Determine a área total de um cone, sendo 40 cm o diâmetro de sua base e 420 cm^2 a área de sua seção meridiana.

Passo 1

O enunciado pede a área total de um cone cuja base tem diâmetro de 40,cm e cuja área da seção meridiana vale 420,cm ^2.
Conteúdo: geometria dos sólidos — uso da seção meridiana (triângulo isósceles) para achar a altura e depois cálculo da área total do cone (área lateral + área da base).

Passo 2

Calcular o raio da base e relacionar a seção meridiana à altura do cone.
O raio é
r = 402 = 20 cm
A seção meridiana é um triângulo de base 2r e altura igual à altura h do cone, portanto sua área é
2rcdot h2 = r,h

Passo 3

Determinar a altura h usando a área da seção meridiana.
Como r,h = 420, temos
20 ,h = 420 Longrightarrow h = 21 cm

Passo 4

Calcular a geratriz l do cone pelo Teorema de Pitágoras no triângulo geratriz-altura-raio:
l = raizr^2 + h^2 = raiz20^2 + 21^2 = raiz400 + 441 = 29 cm

Passo 5

Calcular a área lateral e a área da base, depois somar para obter a área total.
Área lateral:
Alat = pi,r,l = pi cdot 20 cdot 29 = 580pi
Área da base:
Abase = pi,r^2 = pi cdot 20^2 = 400pi
Logo, a área total é
Atotal = Alat + Abase = 580pi + 400pi = 980pi cm^2

Resposta

A área total do cone é 980pi,cm ^2.

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